Sobre o tema
Este problema de combinatória envolve a distribuição de 10 carrinhos idênticos (exceto pela cor) em 4 cores distintas, com a condição de que cada cor apareça pelo menos uma vez. A questão exige o cálculo do número de soluções inteiras não negativas para a equação x1 + x2 + x3 + x4 = 10, onde cada xi ≥ 1. A técnica padrão é usar a transformação yi = xi - 1, resultando em y1 + y2 + y3 + y4 = 6, com yi ≥ 0. O número de soluções é dado pela combinação com repetição: C(6 + 4 - 1, 4 - 1) = C(9, 3). Esse tipo de contagem aparece frequentemente em problemas de combinações com repetição e é essencial para resolver questões de distribuição de objetos em categorias com restrições mínimas.
Tópicos relacionados
- Combinações com repetição
- Distribuição de objetos idênticos em categorias
- Restrições de mínimo (pelo menos um)
- Técnica de transformação de variáveis
- Fórmula C(n + k - 1, k - 1)
Enunciado
Um brinquedo infantil caminhão-cegonha é formado por uma carreta e dez carrinhos nela transportados, conforme a figura.
No setor de produção da empresa que fabrica esse brinquedo, é feita a pintura de todos os carrinhos para que o aspecto do brinquedo fique mais atraente. São utilizadas as cores amarelo, branco, laranja e verde, e cada carrinho é pintado apenas com uma cor. O caminhão-cegonha tem uma cor fixa. A empresa determinou que em todo caminhão-cegonha deve haver pelo menos um carrinho de cada uma das quatro cores disponíveis. Mudança de posição dos carrinhos no caminhão-cegonha não gera um novo modelo do brinquedo.
Com base nessas informações, quantos são os modelos distintos do brinquedo caminhão-cegonha que essa empresa poderá produzir?
Alternativas
- A)
C6,4
- B)
C9,3
- C)
C10,4
- D)
64
- E)
46
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Perguntas frequentes
O que são combinações com repetição?
Combinações com repetição, ou combinações completas, contam o número de maneiras de escolher k objetos de n tipos, permitindo repetições, onde a ordem não importa. A fórmula é C(n + k - 1, k).
Como resolver problemas com restrição de 'pelo menos um' em cada categoria?
Subtraia 1 de cada categoria para garantir o mínimo, reduzindo o problema a contar soluções sem restrições. Depois, use combinação com repetição na soma restante.
Qual a diferença entre combinação simples e combinação com repetição?
Na combinação simples, os elementos são distintos e não podem se repetir; na com repetição, os tipos podem ser escolhidos várias vezes. A fórmula para com repetição é C(n + k - 1, k).