Sobre o tema
O Teorema de Pitágoras não se limita a triângulos retângulos, mas também se aplica a áreas de figuras semelhantes construídas sobre seus lados. No contexto de círculos cujos diâmetros são os lados de um triângulo retângulo, a área do círculo sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas sobre os catetos. Essa propriedade permite comparar áreas de pizzas circulares quando seus diâmetros formam um triângulo. Se o triângulo formado pelos diâmetros for obtusângulo (ângulo oposto ao diâmetro maior maior que 90°), a área da pizza correspondente ao lado maior é maior que a soma das outras duas. A questão do ENEM 2023 explora essa relação, exigindo interpretação geométrica e aplicação do teorema.
Tópicos relacionados
- Teorema de Pitágoras e círculos
- Relação entre lados e áreas de figuras semelhantes
- Triângulo obtusângulo e comparação de áreas
- Geometria aplicada a problemas do ENEM
- Interpretação de ângulos em triângulos
Enunciado
Sejam a, b e c as medidas dos lados de um triângulo retângulo, tendo a como medida da hipotenusa. Esses valores a, b e c são, respectivamente, os diâmetros dos círculos C1, C2 e C3, como apresentados na figura.
Essa construção assegura, pelo teorema de Pitágoras, que área de C1 é igual a área de C2 mais área de C3.[[placeholder]]
Um professor de matemática era conhecedor dessa construção e, confraternizando com dois amigos em uma pizzaria onde são vendidas pizzas somente em formato de círculo, lançou um desafio: mesmo sem usar uminstrumento de medição, poderia afirmar com certeza se a área do círculo correspondente à pizza que ele pedisse era maior, igual ou menor do que a soma das áreas das pizzas dos dois amigos. Assim, foram pedidas três pizzas. O professor as dividiu ao meio e formou um triângulo com os diâmetros das pizzas, conforme indicado na figura.
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A partir da medida do ângulo alfa, o professor afirmou que a área de sua pizza é maior do que a soma das áreas das outras duas pizzas.
A área da pizza do professor de matemática é maior do que a soma das áreas das outras duas pizzas, pois
Alternativas
- A)
0 grau < alfa < 90 graus
- B)
alfa = 90 graus.
- C)
90 graus < alfa < 180 graus.
- D)
alfa = 180 graus.
- E)
180 graus < alfa < 360 graus.
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Perguntas frequentes
Como o Teorema de Pitágoras se relaciona com áreas de círculos?
Se os diâmetros de três círculos formam um triângulo retângulo, a área do círculo sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas dos círculos sobre os catetos, devido à proporcionalidade entre área e quadrado do diâmetro.
Em um triângulo formado pelos diâmetros, quando a área do círculo maior excede a soma das outras?
Quando o triângulo é obtusângulo (ângulo oposto ao maior lado maior que 90°), o quadrado do maior lado é maior que a soma dos quadrados dos outros dois, logo a área do círculo correspondente é maior que a soma das áreas.
Qual a importância do ângulo α na questão?
O ângulo α é o ângulo oposto ao diâmetro da pizza do professor. Se α > 90°, a área da pizza do professor é maior que a soma das outras; se α = 90°, é igual; se α < 90°, é menor.