Sobre o tema
Questões do ENEM frequentemente combinam geometria com otimização. Neste problema, uma sala retangular de 3m x 6m é dividida por colunas cilíndricas dispostas paralelamente ao lado menor. O desafio é determinar a loja que oferece o menor custo total, respeitando a condição de que os vãos entre colunas e entre colunas e paredes não ultrapassem 15 cm. Para isso, calcula-se o número mínimo de colunas necessário para cada raio, considerando que a soma dos diâmetros das colunas mais a soma dos vãos (máximo 15 cm cada) deve cobrir os 6 metros (600 cm). Em seguida, multiplica-se o número de colunas pelo preço unitário. A loja com menor custo total é a escolhida. O raciocínio envolve inequações, arredondamento para cima e comparação de custos.
Tópicos relacionados
- Cálculo do número mínimo de colunas
- Otimização de custo em geometria
- Inequações aplicadas a problemas de espaço
- Arredondamento para cima em problemas práticos
- Comparação de custos totais
Enunciado
Uma sala com piso no formato retangular, com lados de medidas 3 metros e 6 metros, será dividida em dois ambientes. Para isso, serão utilizadas colunas em formato cilíndrico, dispostas perpendicularmente ao piso e representadas na figura pelos círculos de cor azul. Os centros desses círculos estarão sobre uma reta paralela aos lados de menor medida do piso da sala. Os vãos entre duas colunas e entre uma coluna e a parede não poderão ser superiores a 15 centímetros.
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Para efetuar a compra dessas colunas, foram feitos orçamentos com base em dados fornecidos por cinco lojas.
| Loja | Raio (cm) | Preço por unidade (R$) |
|---|---|---|
| I | 5 | 60 |
| II | 10 | 70 |
| III | 12 | 75 |
| IV | 15 | 90 |
| V | 20 | 120 |
A compra será realizada na loja cujo orçamento resulte no menor valor total possível.
A compra será realizada na loja
Alternativas
- A)
1
- B)
2
- C)
3
- D)
4
- E)
5
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Perguntas frequentes
Como determinar o número mínimo de colunas para respeitar um vão máximo?
A condição é que a soma dos diâmetros das colunas mais a soma dos vãos (cada um ≤ valor máximo) cubra o comprimento total. Isola-se o número de colunas n na inequação (comprimento - 2rn)/(n+1) ≤ vão máximo, onde r é o raio. Resolve-se para n e arredonda-se para cima.
Por que o arredondamento do número de colunas é sempre para cima?
Como o número de colunas deve ser inteiro e a condição exige que os vãos sejam menores ou iguais ao máximo, o valor calculado de n é o mínimo teórico. Qualquer número menor resultaria em vãos maiores que o permitido, por isso arredonda-se para cima.
Qual a importância de considerar o raio das colunas na otimização?
O raio afeta o espaço ocupado pelas colunas: quanto maior o raio, menor o número necessário, mas o preço unitário pode ser mais alto. A otimização busca o equilíbrio entre quantidade e custo por unidade para minimizar o gasto total.