Sobre o tema
A escolha da forma geométrica que maximiza a área para um perímetro fixo é um problema clássico de otimização. No contexto de jardinagem, um cercado de comprimento k metros pode delimitar diferentes polígonos regulares. O triângulo equilátero, o quadrado e o hexágono regular são opções comuns. A relação entre área e perímetro depende do número de lados: quanto mais lados, mais eficiente é a forma em termos de área. O hexágono regular, por exemplo, é conhecido por sua alta eficiência, sendo utilizado em colmeias. Nesta questão do ENEM 2024, o jardineiro busca a maior área possível com a mesma cerca, aplicando conceitos de geometria plana e áreas de polígonos regulares. A resposta correta envolve o cálculo exato da área para cada forma e a comparação entre elas.
Tópicos relacionados
- otimização de área com perímetro fixo
- área de polígono regular
- fórmulas de área triângulo quadrado hexágono
- geometria plana ENEM
- relação entre número de lados e área
Enunciado
Um jardineiro dispõe de k metros lineares de cerca baixa para fazer um jardim ornamental. O jardim, delimitado por essa cerca, deve ter a forma de um triângulo equilátero, um quadrado ou um hexágono regular. A escolha será pela forma que resulte na maior área.
O jardineiro escolherá a forma de
Alternativas
- A)
hexágono regular, pois a área do jardim, em metro quadrado, será fração, numerador k ao quadrado vezes raiz quadrada de 3, denominador 24.
- B)
hexágono regular, pois a área do jardim, em metro quadrado, será fração, numerador 3 vezes k ao quadrado vezes raiz quadrada de 3, denominador 2.
- C)
quadrado, pois a área do jardim, em metro quadrado, será fração, numerador k ao quadrado, denominador 16.
- D)
triângulo equilátero, pois a área do jardim, em metro quadrado, será fração, numerador k ao quadrado vezes raiz quadrada de 3, denominador 36.
- E)
triângulo equilátero, pois a área do jardim, em metro quadrado, será fração, numerador k ao quadrado vezes raiz quadrada de 3, denominador 4.
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Perguntas frequentes
Qual forma geométrica com perímetro fixo tem a maior área?
Para um dado perímetro, quanto maior o número de lados, maior a área. Entre triângulo, quadrado e hexágono regulares, o hexágono tem a maior área.
Como calcular a área de um hexágono regular a partir do perímetro?
Divida o perímetro por 6 para obter o lado, depois use a fórmula A = (3√3/2) lado². Ou diretamente A = (Perímetro² √3) / 24.
Por que o hexágono é eficiente em termos de área?
O hexágono regular aproxima-se de um círculo, que é a forma de maior área para um dado perímetro. Mais lados tornam a forma mais circular.