Sobre o tema
Equações envolvendo funções trigonométricas inversas, como o arco tangente, exigem cuidado com a definição de seus intervalos principais. A identidade arctan(a) + arctan(b) = arctan((a+b)/(1-ab)) é válida apenas quando a soma dos ângulos está dentro do intervalo (-π/2, π/2). Ao aplicar essa identidade, obtém-se uma equação algébrica cujas soluções nem sempre satisfazem a equação original, sendo necessário verificar cada candidato. Este tipo de problema é comum em vestibulares militares, testando tanto manipulação algébrica quanto compreensão dos domínios das funções inversas.
Tópicos relacionados
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Enunciado
: 0,25
A equa��o arctg(z) + arctg(z + 1) = arctg 4
, em que arctg(x) � o arco tangente de x,
apresenta:
3
(A) duas solu��es reais sendo uma positiva e outra negativa.
(B) duas solu��es reais positivas.
(C) duas solu��es reais negativas.
(D) uma �nica solu��o real, sendo esta positiva.
(E) uma �nica solu��o real, sendo esta negativa.
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Perguntas frequentes
Qual é a identidade da soma de dois arco tangentes?
arctan(a) + arctan(b) = arctan((a+b)/(1-ab)) + kπ, onde k é um inteiro que ajusta o resultado para o intervalo principal (-π/2, π/2). A fórmula simples sem o k só é válida quando a soma dos ângulos está dentro desse intervalo.
Por que é necessário verificar as soluções após aplicar a tangente em equações com arctan?
Porque a função tangente não é injetiva em todo o seu domínio; ao aplicar a tangente em ambos os lados, podem surgir soluções estranhas que não satisfazem a equação original devido a diferenças de múltiplos de π.
Como determinar se uma solução algébrica é válida em uma equação com arctan?
Calcula-se o valor numérico de cada arctan (no intervalo principal) e verifica-se se a soma é igual ao valor do outro lado da equação. Caso a soma exceda o intervalo (−π/2, π/2), pode ser necessário adicionar ou subtrair π.