Sobre o tema
A probabilidade é um ramo da matemática que estuda a chance de ocorrência de eventos em experimentos aleatórios. Nesta questão do IME, o contexto é geométrico: um polígono regular de 2n vértices inscrito em uma circunferência. A escolha aleatória de quatro vértices para formar um quadrilátero nos leva a calcular a probabilidade de que ele seja um retângulo. Para resolvê-la, é necessário conhecimento de combinatória (contagem de combinações) e propriedades de polígonos regulares, especialmente a existência de pares de vértices opostos (diâmetros) que, quando combinados, formam retângulos. O problema integra geometria plana e análise combinatória, sendo comum em vestibulares militares.
Tópicos relacionados
- Probabilidade em geometria
- Combinações simples
- Propriedades de polígonos regulares
- Retângulos inscritos em circunferência
- Contagem de diagonais e diâmetros
Enunciado
: 0,25
Um pol�gono regular possui 2n v�rtices (n N, n > 1). Escolhem-se ao acaso 4 v�rtices do
pol�gono, formando o quadril�tero ABCD. A probabilidade de ABCD ser um ret�ngulo �
n n-1 n+2 2n n2 + 2n + 4
(E) 12 2n
(A) 2 (B) 2n (C) 4 (D) 6 2
2n 2n 2n 4
4
4 4 4
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Perguntas frequentes
Como se define um retângulo inscrito em uma circunferência?
Um retângulo inscrito em uma circunferência tem todos os vértices sobre a circunferência e seus ângulos internos são retos. Isso ocorre quando as diagonais são diâmetros e se cruzam no centro.
Qual é a relação entre o número de vértices de um polígono regular e a quantidade de retângulos possíveis?
Em um polígono regular de 2n vértices, existem n pares de vértices opostos (diâmetros). Escolhendo dois desses pares, obtemos os quatro vértices de um retângulo. Assim, o número de retângulos é combinação de n pares tomados dois a dois: C(n,2).
Por que a probabilidade de formar um retângulo depende do número de vértices?
A probabilidade é a razão entre o número de retângulos (C(n,2)) e o número total de quadriláteros (C(2n,4)). Essa razão diminui conforme n aumenta, pois o número de quadriláteros cresce mais rapidamente.