Sobre o tema
O princípio da casa dos pombos é uma ferramenta poderosa em combinatória para garantir a existência de certas configurações em conjuntos finitos. Nesta questão do ITA 2024, o foco está em encontrar o menor número de elementos que devem ser selecionados de um conjunto específico para assegurar que haja pelo menos um par cujo produto seja 256. O conjunto A possui nove números: potências de 2 de 2^0 a 2^8. A estratégia envolve identificar os pares complementares que multiplicados resultam em 256 e determinar o tamanho máximo de um subconjunto que evita tais pares. Esse tipo de problema é comum em olimpíadas de matemática e vestibulares, testando raciocínio lógico e aplicação de conceitos fundamentais.
Tópicos relacionados
- Princípio da casa dos pombos
- Conjuntos e subconjuntos
- Problemas de existência em combinatória
- Produto de números naturais
- Potências de 2
Enunciado
Considere o conjunto:
A = {1; 2; 4; 8; 16; 32; 64; 128; 256}:
Qual o menor n N tal que todo subconjunto de A com n elementos contenha pelo menos
um par cujo produto seja 256?
A ( ) n = 5. C ( ) n = 7. E ( ) n = 9.
B ( ) n = 6. D ( ) n = 8.
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Perguntas frequentes
O que é o princípio da casa dos pombos?
É um princípio combinatório que afirma que se n itens são colocados em m recipientes e n > m, então pelo menos um recipiente contém mais de um item.
Como identificar pares cujo produto é 256 em potências de 2?
As potências de 2 são da forma 2^k. O produto de duas potências é 256 = 2^8 quando a soma dos expoentes é 8. Assim, os pares são (1,256), (2,128), (4,64) e (8,32). O 16 não forma par consigo mesmo porque só aparece uma vez.
Qual a importância de problemas como este em vestibulares?
Eles avaliam a capacidade de raciocínio lógico e aplicação de princípios combinatórios básicos, além de incentivar o pensamento estratégico para encontrar o pior cenário possível.