Sobre o tema
Este problema combina polinômios e análise combinatória, exigindo o cálculo da soma das raízes de todos os polinômios de grau 4 formados por permutações dos coeficientes {1,2,3,4,5}. A soma das raízes de um polinômio é dada por -a3/a4 (coeficiente de x³ sobre o coeficiente líder). Como cada par ordenado (a3,a4) com valores distintos aparece o mesmo número de vezes, a soma total é obtida somando sobre todas as permutações. Esse tipo de questão avalia a compreensão das relações entre coeficientes e raízes, além de habilidades de contagem simétrica.
Tópicos relacionados
- Relação entre coeficientes e raízes
- Soma das raízes de um polinômio
- Análise combinatória com permutações
- Teorema fundamental da álgebra
- Propriedades de simetria em problemas de contagem
Enunciado
Considere o conjunto C = {1; 2; 3; 4; 5}. Para cada escolha poss�vel de
a0, a1, a2, a3, a4 C, dois a dois distintos, formamos o polin�mio
a0 + a1x + a2x 2 + a3x 3 + a4x 4:
A soma das ra�zes, contadas com multiplicidade, de todos os polin�mios formados nesse
processo � igual a:
A ( ) -17125. B ( ) -1800. C ( ) -360. D ( ) -351. E ( ) -101.
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Perguntas frequentes
Como calcular a soma das raízes de um polinômio de grau 4?
Para um polinômio a4x⁴ + a3x³ + a2x² + a1x + a0, a soma das raízes (com multiplicidade) é -a3/a4.
O que significa contagem simétrica em problemas de permutação?
Significa que cada configuração possível de um subconjunto de elementos aparece o mesmo número de vezes, permitindo calcular somas totais por médias.
Por que a soma das raízes independe dos outros coeficientes?
A soma das raízes depende apenas dos coeficientes do termo líder e do termo de grau n-1, conforme as relações de Viète.