Sobre o tema
A elipse é uma curva cônica definida por uma equação do segundo grau. Sua excentricidade mede o quão alongada ela é: quanto mais próxima de 1, mais alongada; quanto mais próxima de 0, mais circular. Problemas que envolvem a posição relativa entre uma elipse e um círculo são comuns em geometria analítica, exigindo o cálculo de centros, raios e desigualdades. Nesta questão do ITA, o interior de um círculo deve estar totalmente dentro da elipse, o que impõe condições sobre o parâmetro λ. A partir dessas condições, busca-se o valor de λ que maximiza a excentricidade da elipse, combinando conceitos de cônicas, completamento de quadrados e otimização.
Tópicos relacionados
- Equação reduzida da elipse
- Excentricidade de uma elipse
- Completamento de quadrados
- Condição de interior de círculo contido em elipse
- Otimização de parâmetros em cônicas
Enunciado
Considere a elipse dada pela equa��o
�x2 + (� + 4)y 2 - 4�x - (10� + 40)y + 25(� + 4) - �2 = 0;
e o c�rculo de equa��o
x2 + y 2 - 4x - 12y + 36 = 0:
Estando o interior do c�rculo inteiramente contido no interior da elipse, o valor
de � R - {-4; 0} quando a excentricidade da elipse � m�xima � igual a:
A ( ) 3. B ( ) 5. C ( ) 9. D ( ) 13. E ( ) 15.
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QU�MICA
Constantes
Constante de Avogadro (NA) = 6,02 � 1023 mol-1
Constante de Faraday (F) = 9,65 � 104 C mol-1 = 9,65 � 104 A s mol-1 = 9,65 � 104 J V-1 mol-1
Carga elementar = 1,60 � 10-19 C
Constante dos gases (R) = 8,21 � 10-2 atm L K-1 mol-1 = 8,31 J K-1 mol-1 = 1,98 cal K-1 mol-1
Constante de Planck (h) = 6,63 � 10-34 J s
Velocidade da luz no v�cuo = 3,0 � 108 m s-1
N�mero de Euler (e) = 2,72
Defini��es
Press�o: 1 atm = 760 Torr = 1,01325 � 105 N m-2 = 1,01325 bar
Energia: 1 J = 1 N m = 1 kg m2 s-2 = 6,24 � 1018 eV
Condi��es normais de temperatura e press�o (CNTP): 0 �C e 1 atm, equivalente a um volume de
um g�s ideal de 22,4 L.
Condi��es ambientes: 25 �C e 1 atm
Condi��es padr�o: 1 bar; concentra��o das solu��es = 1 mol L-1 (rigorosamente: atividade unit�ria
das esp�cies); s�lido com estrutura cristalina mais est�vel nas condi��es de press�o e
temperatura em quest�o.
(s) = s�lido. () = l�quido. (g) = gasoso. (aq) = aquoso. (conc) = concentrado. (ua) = unidades
arbitr�rias. u.m.a. = unidade de massa at�mica. [X] = concentra��o da esp�cie X em mol L-1.
ln X = 2,3 log X; 2 = 1,41; 3 = 1,73.
EPH = eletrodo padr�o de hidrog�nio
Massas Molares
Elemento N�mero Massa Molar Elemento N�mero Massa Molar
Qu�mico At�mico (g mol1) Qu�mico At�mico (g mol1)
H 1 1,01 Ca 20 40,08
4,00 Mn 25 54,94
He 2 12,01 Fe 26 55,85
14,01 Cu 29 63,55
C 6 16,00 Br 35 79,90
19,00 Sn 50 118,71
N 7 22,99 53 126,90
35,45 I 79 196,97
O 8 39,10 Au 80 200,59
Hg
F 9
Na 11
Cl 17
K 19
18
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Perguntas frequentes
O que é a excentricidade de uma elipse?
A excentricidade (e) de uma elipse é a razão entre a distância focal e o eixo maior. Ela varia de 0 (círculo) a 1 (parábola limite). Quanto maior e, mais alongada a elipse.
Como transformar uma equação geral de elipse na forma reduzida?
Completando quadrados para as variáveis x e y e dividindo pelo termo constante, obtendo a forma (x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1, onde a e b são os semieixos.
Qual a condição para que um círculo esteja inteiramente dentro de uma elipse?
A distância do centro do círculo ao centro da elipse, somada ao raio do círculo, deve ser menor que a distância do centro da elipse à borda na mesma direção. É necessário verificar ao longo do eixo de maior excentricidade.