Ano 2010#matematica

Sobre o tema

A geometria plana é fundamental em diversas aplicações práticas, como na construção civil, onde medições de comprimentos e ângulos são usadas para demarcar áreas. Um conceito importante é o dos pontos médios de um triângulo, que formam um triângulo semelhante ao original com metade das dimensões lineares. A relação entre as áreas de triângulos semelhantes é o quadrado da razão de semelhança, o que permite calcular áreas de regiões compostas. Nesta questão do ENEM 2010, explora-se a área de um quadrilátero formado por vértices de um triângulo retângulo e pontos médios de seus lados, exigindo o conhecimento de propriedades de triângulos e proporcionalidade.

Tópicos relacionados

  • Pontos médios de um triângulo
  • Razão de semelhança entre triângulos
  • Área de triângulos semelhantes
  • Geometria plana aplicada
  • Proporcionalidade em figuras geométricas

Enunciado

Em canteiros de obras de construção civil é comum perceber trabalhadores realizando medidas de comprimento e de ângulos e fazendo demarcações por onde a obra deve começar ou se erguer. Em um desses canteiros foram feitas algumas marcas no chão plano. Foi possível perceber que, das seis estacas colocadas, três eram vértices de um triângulo retângulo e as outras três eram os pontos médios dos lados desse triângulo, foram indicadas por letras.

![](https://enem.dev/2010/questions/161/93aaf9bb-8489-4ca4-b226-0029de752d3c.jpg)

A região demarcada pelas estacas A, B, M e N deveria ser calçada com concreto.

Nessas condições, a área a ser calçada corresponde

Alternativas

  • A)

    À mesma área do triângulo AMC.

  • B)

    À mesma área do triângulo BNC.

  • C)

    À metade da área formada pelo triângulo ABC.

  • D)

    Ao dobro da área do triângulo MNC.

  • E)

    Ao triplo da área do triângulo MNC.

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Perguntas frequentes

O que são pontos médios de um triângulo?

São os pontos que dividem cada lado do triângulo em dois segmentos iguais. Eles são obtidos traçando segmentos que unem os pontos médios de dois lados, formando um triângulo semelhante ao original.

Qual a relação entre as áreas de triângulos semelhantes?

A área de triângulos semelhantes é proporcional ao quadrado da razão de semelhança. Se a razão linear é k, a razão das áreas é k².

Como calcular a área de um quadrilátero formado por vértices e pontos médios?

Pode-se decompor a figura em triângulos menores e usar relações de semelhança para determinar a área desejada em função da área do triângulo original.

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