Ano 2022#matematica

Sobre o tema

Um problema comum em geometria espacial é determinar a área superficial de um paralelepípedo reto retângulo, especialmente em situações práticas como a construção de piscinas. Neste contexto, o volume é fixo, mas as dimensões podem variar, e o objetivo é minimizar a área a ser revestida, reduzindo custos. Para calcular a área total das paredes e do fundo, utiliza-se a fórmula: área = comprimento × largura + 2 × profundidade × (comprimento + largura). A otimização geométrica é essencial em projetos de engenharia, pois mostra como diferentes arranjos dimensionais afetam a eficiência do material. Este exercício ilustra a aplicação de conceitos de volume e área superficial, com um volume dado de 90 m³ (equivalente a 90.000 L), onde cada projeto satisfaz essa restrição.

Tópicos relacionados

  • Área superficial de paralelepípedo
  • Otimização com volume fixo
  • Geometria espacial
  • Cálculo de área lateral e fundo
  • Problemas de construção de piscinas

Enunciado

Um casal planeja construir em sua chácara uma piscina com o formato de um paralelepípedo reto retângulo com capacidade para 90 000 L de água. O casal contratou uma empresa de construções que apresentou cinco projetos com diferentes combinações nas dimensões internas de profundidade, largura e comprimento. A piscina a ser construída terá revestimento interno em suas paredes e fundo com uma mesma cerâmica, e o casal irá escolher o projeto que exija a menor área de revestimento.

As dimensões internas de profundidade, largura e comprimento, respectivamente, para cada um dos projetos, são:

• projeto I: 1,8 m, 2,0 m e 25,0 m;
• projeto II: 2,0 m, 5,0 m e 9,0 m;
• projeto III: 1,0 m, 6,0 m e 15,0 m;
• projeto IV: 1,5 m, 15,0 m e 4,0 m;
• projeto V: 2,5 m, 3,0 m e 12,0 m.

O projeto que o casal deverá escolher será o

Alternativas

  • A)

    I.

  • B)

    II.

  • C)

    III.

  • D)

    IV.

  • E)

    V.

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Perguntas frequentes

Como calcular a área a ser revestida em uma piscina retangular?

A área total do revestimento é a soma da área do fundo (comprimento × largura) com a área das quatro paredes: duas de profundidade × comprimento e duas de profundidade × largura.

Por que piscinas com mesmo volume podem ter áreas de revestimento diferentes?

Porque a área superficial depende das dimensões. Projetos mais alongados ou rasos tendem a ter maior área superficial, enquanto dimensões mais equilibradas reduzem a área total para um volume fixo.

Qual a importância de minimizar a área de revestimento em uma piscina?

Minimizar a área reduz o custo com materiais de revestimento e a mão de obra, além de diminuir as perdas de calor e a evaporação da água.

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