Ano 2023#matematica

Sobre o tema

O crescimento populacional de organismos em condições ideais segue um modelo exponencial, onde a população se multiplica por um fator constante em intervalos regulares. Neste problema, larvas se reproduzem multiplicando-se por 10 a cada 3 dias, partindo de 100 indivíduos. O agricultor precisa aplicar um produto quando a população atinge 1.000.000 de larvas (5 litros, cada litro para 200.000 larvas). O cálculo envolve a resolução de uma equação exponencial, transformando-a em logaritmo para encontrar o tempo necessário. Esse tipo de questão é comum em vestibulares e no ENEM, testando a compreensão de funções exponenciais e logaritmos no contexto de problemas aplicados.

Tópicos relacionados

  • Crescimento exponencial em biologia
  • Equações exponenciais e logaritmos
  • Problemas de tempo de duplicação
  • Aplicações de funções exponenciais
  • Modelagem matemática no ENEM

Enunciado

Um agricultor é informado sobre um método de proteção para sua lavoura que consiste em inserir larvas específicas, de rápida reprodução. A reprodução dessas larvas faz com que sua população multiplique-se por 10 a cada 3 dias e, para evitar eventuais desequilíbrios, é possível cessar essa reprodução aplicando-se um produto X. O agricultor decide iniciar esse método com 100 larvas e dispõe de 5 litros do produto X, cuja aplicação recomendada é de exatamente 1 litro para cada população de 200 000 larvas. A quantidade total do produto X de que ele dispõe deverá ser aplicada de uma única vez.

Quantos dias após iniciado esse método o agricultor deverá aplicar o produto X?

Alternativas

  • A)

    2

  • B)

    4

  • C)

    6

  • D)

    12

  • E)

    18

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Perguntas frequentes

Como resolver problemas de crescimento exponencial com multiplicação periódica?

Identifique a população inicial, o fator de multiplicação e o intervalo de tempo. Monte a equação N(t) = N0 * f^(t/k), onde f é o fator e k o período. Depois, isole o expoente usando logaritmos.

Qual a relação entre crescimento exponencial e logaritmos?

Logaritmos são a operação inversa da exponenciação. Para encontrar o tempo em que a população atinge um valor, aplicamos logaritmo nos dois lados da equação exponencial, permitindo isolar a variável no expoente.

Por que o produto X é aplicado de uma única vez no problema?

O enunciado indica que a aplicação deve ser feita exatamente quando a população atinge o limite suportado pelo produto disponível, para evitar desequilíbrios. Por isso, o cálculo determina o momento exato.

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