Ano 2018#mathematics

Sobre o tema

Este problema aborda a relação entre as raízes de um polinômio e seus coeficientes, especialmente quando todas as raízes estão sobre a circunferência unitária no plano complexo. O produto das raízes é dado por (-1)^n vezes o termo constante, e a condição a₀ < 0 força esse produto a ser (-1)^(n+1). Esse resultado é útil em álgebra e análise complexa, conectando propriedades geométricas (raízes no círculo unitário) com sinais de coeficientes reais.

Tópicos relacionados

  • Relações de Girard para polinômios
  • Raízes na circunferência unitária
  • Produto das raízes de um polinômio
  • Sinal do termo constante e paridade de n
  • Polinômios com coeficientes reais

Enunciado

Considere o polinômio

P(x) = x^n + a_(n_1) x^(n_1) + ... + a_1 x + a_0,

em que a_0, ..., a_(n-1) ∈ ℝ. Sabe-se que as suas n raízes estão
sobre a circunferência unitária e que a_0 < 0.

O produto das n raízes de P(x), para qualquer inteiro n >= 1, é:

Alternativas

  • A)

    0/

  • B)

    i^n

  • C)

    i^(n+1)

  • D)

    (-1)^n

  • E)

    (-1)^(n+1)

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Perguntas frequentes

O que são as relações de Girard?

São fórmulas que ligam os coeficientes de um polinômio às somas e produtos de suas raízes. Por exemplo, o produto das raízes é (-1)^n vezes o termo constante dividido pelo coeficiente líder.

O que significa um polinômio ter raízes sobre a circunferência unitária?

Significa que todas as raízes complexas têm módulo igual a 1. Isso implica que o módulo do produto das raízes também é 1, o que restringe o valor do termo constante.

Como a condição a₀ < 0 influencia o sinal do produto das raízes?

Se a₀ é negativo e o coeficiente líder é 1, o produto das raízes vale (-1)^n a₀. Como a₀ < 0, o sinal do produto é (-1)^(n+1) e, com módulo 1, resulta exatamente em (-1)^(n+1).

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