Ano 2019#geometria#cubo#algebra#combinatoria

Sobre o tema

Este problema do IME 2019 aborda um cubo com números inteiros positivos em cada face. A partir do produto dos números nas três faces adjacentes a cada vértice, obtém-se a soma desses produtos igual a 1105. O objetivo é determinar a soma dos seis números escritos nas faces. A questão combina conceitos de geometria espacial, álgebra e combinatória, exigindo a identificação de uma relação simétrica entre as faces opostas. Através da fatoração do número 1105 e da interpretação das somas das faces opostas, chega-se à resposta.

Tópicos relacionados

Soma dos produtos nos vértices de um cubo
Relação entre faces opostas
Fatoração de números inteiros
Soma de números nas faces
Álgebra e combinatória em geometria

Enunciado

Um inteiro positivo e escrito em cada uma das seis faces de um cubo. Para cada vertice, e calculado o produto dos numeros escritos nas tres faces adjacentes. Se a soma desses produtos e 1105, a soma dos seis numeros das faces e:

Alternativas

A)
22
B)
35
C)
40
D)
42
E)
50

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Perguntas frequentes

Como calcular a soma dos produtos nos vértices de um cubo?

A soma dos produtos nos vértices é igual ao produto das somas dos números em cada par de faces opostas. Se os números nas faces são T, B, F, K, L, R, com T e B opostos, F e K opostos, L e R opostos, então a soma é (T+B)(F+K)(L+R).

Por que a soma dos produtos nos vértices se fatora dessa forma?

Cada vértice envolve três faces: uma de cada par oposto. Ao somar os produtos, podemos agrupar termos comuns, resultando no produto das somas dos pares opostos.

Como resolver problemas envolvendo números em faces de um cubo?

Identifique pares de faces opostas e use simetria. Muitas vezes, expressões podem ser fatoradas em termos das somas desses pares, facilitando a resolução.