Ano 2019#logaritmos#progressao-geometrica#mantissa

Sobre o tema

Esta questão do IME (2019) aborda a relação entre progressão geométrica e logaritmos decimais, especificamente os conceitos de mantissa (parte fracionária) e característica (parte inteira) de um logaritmo. Uma progressão geométrica de números naturais A, B, C é dada, e impõe-se que os logaritmos de A e B tenham a mesma mantissa M, que o valor C seja a característica de log(A), e que M = log(C). A maximização de C leva a uma solução única, envolvendo potências de 10. O problema exige compreensão de como a mantissa se comporta ao somar logaritmos, bem como a manipulação de progressões geométricas com razão igual a uma potência de 10. É uma questão clássica para treinar propriedades de logaritmos e progressões geométricas.

Tópicos relacionados

  • Mantissa e característica de logaritmos decimais
  • Progressão geométrica com razão potência de 10
  • Propriedades de logaritmos para soma e produto
  • Máximo valor de um termo em progressão geométrica

Enunciado

Uma progressao geometrica e formada com os numeros naturais A, B e C, nessa ordem. O log(A) possui a mesma mantissa M do log(B) e C e a caracteristica do log(A). Sabe-se que M = log(C) e que C possui o maior valor possivel. O valor da mantissa do log(ABC) e:

Alternativas

  • A)

    M

  • B)

    2M

  • C)

    3M

  • D)

    3M-2

  • E)

    3M-3

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Perguntas frequentes

O que é mantissa de um logaritmo decimal?

A mantissa é a parte fracionária do logaritmo decimal, sempre entre 0 e 1. Por exemplo, log(200) = 2,3010: a parte inteira 2 é a característica, e 0,3010 é a mantissa.

Como a progressão geométrica se relaciona com logaritmos?

Em uma PG, a razão entre termos consecutivos é constante. Se a razão for uma potência de 10, então os logaritmos dos termos diferem por um número inteiro, compartilhando a mesma mantissa.

Por que a característica do log(A) é igual ao termo C na questão?

A condição C = característica de log(A) e M = log(C) permite estabelecer uma relação entre A e C. Após manipulações, obtém-se que C deve ser um número par de 1 a 9, e o maior possível é 8.

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