Ano 2019#progressao-geometrica#progressao-aritmetica#logaritmos#algebra

Sobre o tema

Este problema combina progressão geométrica (PG) e progressão aritmética (PA) com logaritmos, exigindo que a expressão log_α(a_n) - b_n seja independente de n. A condição leva a uma relação entre a razão da PG e a diferença da PA, resultando em uma base α que é a razão elevada ao inverso da diferença. O tema é recorrente em concursos militares como o IME, testando a compreensão de propriedades de sequências e logaritmos.

Tópicos relacionados

  • Progressão geométrica (PG)
  • Progressão aritmética (PA)
  • Propriedades dos logaritmos
  • Independência de n em expressões
  • Razão e diferença

Enunciado

Considere a progressao geometrica a_1, a_2, ..., a_n, ... e a progressao aritmetica b_1, b_2, ..., b_n, ... com as condicoes: a_1 > 0; a_2/a_1 > 1; e b_2 - b_1 > 0. Para que [log_alfa(a_n) - b_n] nao dependa de n, o valor de alfa devera ser:

Alternativas

  • A)

    (a_2/a_1)^(1/b_2_1)

  • B)

    (a_2/a_1)^(1/b_1)

  • C)

    (a_2/a_1)^(1/(b_2-b_1))

  • D)

    (a_2/a_1)^(1/(b_1-b_2))

  • E)

    (a_2/a_1)^(1/(b_1*b_2))

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Perguntas frequentes

Como determinar se uma expressão com logaritmos é independente de n?

Escreva a expressão em função de n e iguale a zero o coeficiente de n (ou de (n-1)). Se a expressão se reduz a uma constante, então ela não depende de n.

Qual a relação entre PG e PA através de logaritmos?

O logaritmo de uma PG resulta em uma PA, pois log(a_n) = log(a_1) + (n-1)log(q), que é linear em n.

O que significa log_α(a_n) - b_n não depender de n?

Significa que a diferença entre essas duas grandezas é constante para qualquer n, ou seja, os termos da PG e da PA crescem de forma sincronizada.

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