Ano 2019#geometria-espacial#cubo#esfera-inscrita#plano-tangente

Sobre o tema

A geometria espacial é um ramo fundamental da matemática que estuda figuras tridimensionais, como cubos e esferas. Nesta questão do IME, explora-se a condição de tangência entre um plano definido por três pontos em um cubo e a esfera nele inscrita. O problema envolve conceitos de distância, coordenadas espaciais e equação do plano, além da relação entre o raio da esfera e a aresta do cubo. Compreender a posição relativa entre planos e esferas é essencial para resolver questões de geometria analítica e espacial em concursos militares.

Tópicos relacionados

  • Esfera inscrita em cubo
  • Equação do plano em 3D
  • Distância de ponto a plano
  • Condição de tangência
  • Coordenadas no espaço

Enunciado

Em um cubo regular de aresta a, os pontos M, N e L pertencentes as tres arestas distintas que partem do vertice A estao a uma distancia x de A tal que 0 < x <= a/2. Para que o plano MNL seja tangente a esfera inscrita no cubo, o valor de x e:

Alternativas

  • A)

    a*(sqrt(3)-1)/2

  • B)

    a*(3-sqrt(3))/2

  • C)

    a*(2-sqrt(3))/2

  • D)

    a(4-2sqrt(3))/2

  • E)

    a*sqrt(3)/2

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Perguntas frequentes

Como calcular a distância de um ponto a um plano?

A distância de um ponto (x0, y0, z0) a um plano Ax + By + Cz + D = 0 é dada por |Ax0 + By0 + Cz0 + D| / √(A² + B² + C²).

Qual a relação entre a aresta de um cubo e o raio da esfera inscrita?

Em um cubo de aresta a, a esfera inscrita tem raio r = a/2, pois ela tangencia todas as faces no centro de cada uma.

Como determinar se um plano é tangente a uma esfera?

Um plano é tangente a uma esfera se a distância do centro da esfera ao plano for exatamente igual ao raio da esfera.

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