Ano 2019#calculo#derivadas#integrais#area-entre-curvas#funcoes

Sobre o tema

O cálculo de áreas entre curvas e retas é um tópico fundamental em cálculo integral, frequentemente aplicado em problemas que envolvem funções com raízes quadradas. Neste contexto, a função f(x) = √(x - a) representa uma semiparábola horizontal deslocada, comum em problemas de geometria analítica e otimização. A determinação de retas secantes e tangentes paralelas, juntamente com o cálculo de áreas de quadriláteros delimitados por essas retas e verticais, exige o domínio de derivadas para encontrar coeficientes angulares e pontos de tangência. A resolução envolve desde a aplicação do Teorema do Valor Médio até a integração para áreas. Este problema do IME (2019) testa a habilidade de integrar conceitos de derivadas e integrais em um contexto geométrico, sendo relevante para vestibulandos e estudantes de engenharia.

Tópicos relacionados

  • Derivada de função raiz quadrada
  • Reta secante e reta tangente
  • Teorema do Valor Médio
  • Área entre curvas por integração
  • Geometria analítica: paralelismo de retas

Enunciado

Considere a funcao f(x) = sqrt(x - a), x >= a, onde a e um numero real positivo. Seja s a reta secante ao grafico de f em (2a, f(2a)) e (5a, f(5a)) e t a reta tangente ao grafico de f que e paralela a reta s. A area do quadrilatero formado pela reta s, a reta t, a reta x = 2a e a reta x = 5a e sqrt(2) unidades de area. O valor de a, em unidades de comprimento, e:

Alternativas

  • A)

    2*sqrt(2)

  • B)

    4

  • C)

    2

  • D)

    3*sqrt(2)

  • E)

    2^(3/4)

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Perguntas frequentes

Como calcular a reta secante a uma função?

A reta secante passa por dois pontos da função. Calcula-se o coeficiente angular como a diferença das ordenadas sobre a diferença das abscissas, e então usa-se a equação da reta.

O que diz o Teorema do Valor Médio?

Se uma função é contínua em [a,b] e diferenciável em (a,b), existe um ponto c em (a,b) tal que f'(c) é igual à inclinação da secante entre (a,f(a)) e (b,f(b)).

Como calcular a área entre uma reta e uma curva?

Integra-se a diferença entre a função da reta e a função da curva no intervalo de interesse, tomando o módulo se necessário.

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