Ano 2020#logaritmo#inequacao logaritmica#funcao raiz quadrada#fase2#discursiva

Sobre o tema

Inequações logarítmicas combinadas com raízes quadradas exigem cuidado redobrado: é necessário impor condições de existência para todos os termos. Nesta questão do IME, a presença de logaritmos em bases diferentes (3 e 1/3) e de uma raiz quadrada leva a um sistema de restrições que deve ser resolvido simultaneamente. Dominar propriedades como mudança de base e o comportamento de logaritmos com bases entre 0 e 1 é essencial. A resolução envolve transformar a inequação em uma forma mais simples, utilizando substituições ou aplicando diretamente as propriedades, sem esquecer de verificar as soluções encontradas contra as condições de domínio.

Tópicos relacionados

  • Condições de existência de logaritmos
  • Mudança de base de logaritmos
  • Inequações com raízes quadradas
  • Logaritmos com base entre 0 e 1

Enunciado

Calcule os valores reais de $x$ que satisfacam a inequacao
\[
\sqrt{\log_3(x) + 1} + \frac{1}{3}\log_{\frac{1}{3}}(x^2) + \frac{7}{3} > 0.
\]

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Perguntas frequentes

Qual é a condição de existência de um logaritmo?

Para log_a(b) existir, a base a deve ser positiva e diferente de 1, e o logaritmando b deve ser positivo.

Como resolver uma inequação logarítmica com bases diferentes?

Use a mudança de base para igualar as bases ou transforme todos os logaritmos para uma base comum, facilitando a comparação.

O que fazer quando aparece uma raiz quadrada em uma inequação?

Lembre-se de que o radicando deve ser não negativo e, ao elevar ao quadrado ambos os lados, verifique se a desigualdade se mantém (se ambos os lados são não negativos).

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