O estudo de lugares geométricos no plano complexo é um tópico fundamental que combina álgebra e geometria. Nesta questão do IME, explora-se a transformação de Möbius (ou transformação linear fracionária) dada por h = (4 + w + 2i) / (2 - wi), onde w é um parâmetro real. O objetivo é determinar o conjunto de pontos h resultantes quando w percorre todos os números reais. Transformações de Möbius mapeiam retas e círculos em retas e círculos, e a expressão envolve uma divisão de números complexos, exigindo manipulação algébrica cuidadosa. A resolução típica envolve isolar w, impor que w seja real, e utilizar a condição de que a parte imaginária de alguma expressão se anula, ou ainda reescrever a relação para encontrar uma equação algébrica que h satisfaz. Esse problema desenvolve habilidades em álgebra complexa e geometria analítica.