Ano 2021#matematica#fase2#discursiva

Sobre o tema

Equações que combinam funções exponenciais, logarítmicas e trigonométricas exigem domínio de propriedades algébricas e análise de domínio. A expressão 4^(log_2(sen(x))) + log_4(2^cos(2x)) + x / sqrt(4x^2) = 0 envolve simplificações usando identidades logarítmicas, como a^(log_b(c)) = c^(log_b(a)) e log_a(b^c) = c*log_a(b). Além disso, é crucial considerar restrições: o argumento do logaritmo deve ser positivo (sen(x) > 0) e o denominador sqrt(4x^2) = 2|x|, exigindo análise de sinal. Problemas como esse testam a capacidade de manipular diferentes funções e encontrar a interseção de condições de existência com a solução da equação.

Tópicos relacionados

  • Propriedades de logaritmos
  • Domínio de funções logarítmicas e trigonométricas
  • Simplificação de expressões exponenciais
  • Equações transcendentais
  • Análise de sinal de funções

Enunciado

Determine o subconjunto de R que corresponde a solucao da equacao: 4^(log_2(sen(x))) + log_4(2^cos(2x)) + x / sqrt(4x^2) = 0.

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Perguntas frequentes

Como simplificar 4^(log_2(sen(x)))?

Use a propriedade a^(log_b(c)) = c^(log_b(a)). Assim, 4^(log_2(sen(x))) = sen(x)^(log_2(4)) = sen(x)^2.

Qual a condição de existência para log_4(2^cos(2x))?

O logaritmo está definido para qualquer argumento positivo, e 2^cos(2x) > 0 para todo x real. Portanto, não há restrição adicional além do domínio do logaritmo, que é todo real.

Como tratar o termo x / sqrt(4x^2)?

Simplifique sqrt(4x^2) = 2|x|, então x / (2|x|) = (1/2) * sgn(x), onde sgn(x) é o sinal de x. Isso equivale a 1/2 se x > 0, -1/2 se x < 0, e é indefinido para x = 0.

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