Ano 2021#polinomios#numeros-primos#relacoes-de-vieta

Sobre o tema

Este problema aborda a otimização de uma razão envolvendo as raízes de uma equação cúbica com coeficientes primos. Utilizando as relações de Vieta, a soma das raízes é igual a -p1 e o produto é igual a -p3, onde p1 e p3 são números primos. A razão a ser maximizada é p1/p3. Para maximizar essa fração, é necessário que p1 seja o maior possível e p3 o menor possível, respeitando a ordenação p1 < p2 < p3. A solução envolve testar triplas de primos consecutivos, pois isso minimiza a diferença entre p1 e p3. O máximo ocorre para os primos 67, 71 e 73, resultando em p2 + p3 = 144.

Tópicos relacionados

  • Relações de Vieta em equações cúbicas
  • Maximização de razões com números primos
  • Números primos menores que 100
  • Otimização combinatória com restrições

Enunciado

Seja a equacao do terceiro grau em x: x^3 + p1x^2 + p2x + p3 = 0, onde p1 < p2 < p3 sao numeros primos menores que 100. Para que a razao entre a soma e o produto das raizes da equacao seja a maior possivel, o valor de p2 + p3 deve ser:

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Perguntas frequentes

O que são as relações de Vieta?

São fórmulas que relacionam os coeficientes de um polinômio com a soma e o produto de suas raízes. Para uma cúbica x³ + ax² + bx + c, a soma das raízes é -a, a soma dos produtos dois a dois é b, e o produto é -c.

Como encontrar a tripla de primos que maximiza a razão p1/p3?

A razão p1/p3 é maximizada quando p1 é o maior possível e p3 o menor possível, respeitando p1 < p2 < p3. Isso ocorre com primos consecutivos, pois p3 será o menor possível para um dado p1. A tripla (67,71,73) fornece a maior razão.

Por que a soma p2+p3 é calculada?

O problema pede o valor de p2+p3 para a configuração que maximiza a razão. Uma vez encontrada a tripla ideal, basta somar o segundo e o terceiro primos.

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