Em geometria, problemas envolvendo triângulos com razões fixas entre lados frequentemente recorrem à circunferência de Apolônio. Dado um segmento BC fixo e uma razão k para os lados adjacentes, o vértice A se move sobre um círculo cujo centro está na reta suporte de BC. A distância máxima de A à base BC ocorre quando A está no ponto mais alto desse círculo, ou seja, na interseção com a perpendicular pelo centro. Esse conceito é útil para otimizar áreas ou alturas em triângulos com restrições de lado. No problema, com BC=32 e AB/AC=3, o maior valor da altura relativa a BC é encontrado determinando o raio do círculo de Apolônio, que resulta em 12. Esse tipo de questão exige domínio de geometria analítica e lugares geométricos.