Ano 2022#numeros complexos#conjuntos#geometria

Sobre o tema

A questão aborda a contenção de conjuntos no plano complexo, relacionando duas figuras geométricas: um losango (disco da norma L1) e um quadrado (disco da norma do máximo). O problema exige encontrar o menor raio r do losango para que ele contenha o quadrado centrado em (a, b), de lado 2c. Isso envolve conceitos de distâncias, normas e otimização geométrica, com aplicações em análise e geometria. Compreender a relação entre a soma dos módulos (|x|+|y|) e o máximo dos desvios (max{|x-a|,|y-b|}) é essencial para resolver questões de inclusão de conjuntos.

Tópicos relacionados

  • Conjuntos no plano complexo
  • Norma L1 e norma do máximo
  • Geometria analítica de figuras
  • Contenção de conjuntos
  • Problemas de otimização geométrica

Enunciado

Considere os conjuntos de numeros complexos: A = {x+iy tal que x,y em R e |x|+|y| <= r} e B = {x+iy tal que x,y em R e max{|x-a|,|y-b|} <= c}, onde r, a, b e c sao reais positivos. O menor valor de r, em funcao de a, b e c, para que B esteja contido em A e

Alternativas

  • A)

    a + b + sqrt(c)

  • B)

    (a+b)^2 + c

  • C)

    2(a+b) + c

  • D)

    a + b + 2c

  • E)

    2(a+b+c)

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Perguntas frequentes

O que é a norma L1 no plano complexo?

A norma L1 de um número complexo z = x+iy é definida como |x|+|y|. No plano, o conjunto de pontos com norma L1 menor ou igual a r forma um losango (diamante) centrado na origem.

O que é a norma do máximo (Chebyshev)?

A norma do máximo de um ponto (x,y) é max{|x|,|y|}. O conjunto de pontos com essa norma menor ou igual a c forma um quadrado centrado na origem com lados paralelos aos eixos e comprimento 2c.

Como determinar se um quadrado está contido em um losango?

Basta verificar o ponto do quadrado mais distante da origem na norma L1, que geralmente é um dos vértices. O losango deve ter raio maior ou igual a essa distância máxima.

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