Ano 2022#funcoes#funcao par impar#logaritmo

Sobre o tema

A função f(x) = ln(x + √(x² + 1)) é um exemplo clássico de função ímpar, muito utilizado no estudo de funções logarítmicas e trigonométricas hiperbólicas. Ela é conhecida como arco seno hiperbólico (arcsinh x) e sua paridade pode ser verificada através da propriedade f(-x) = -f(x). Essa função é estritamente crescente e tem como inversa a função seno hiperbólico. Compreender sua paridade é essencial para simplificar expressões e resolver equações diferenciais. Em concursos como o IME, questões sobre paridade de funções envolvendo logaritmos e radicais são frequentes, exigindo domínio de manipulações algébricas e propriedades de simetria.

Tópicos relacionados

  • Função ímpar e função par
  • Domínio de funções logarítmicas
  • Propriedades do logaritmo natural
  • Funções hiperbólicas inversas
  • IME 2022 matemática funções

Enunciado

Seja f : R -> R definida como f(x) = log(x + sqrt(x^2 + 1)). Entao:

Alternativas

  • A)

    f(x) e uma funcao par.

  • B)

    f(x) e uma funcao impar.

  • C)

    f(2x) > f(x) para todo x diferente de 0.

  • D)

    f(x) tem duas raizes reais.

  • E)

    f(x) nao tem raiz real.

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Perguntas frequentes

O que é uma função ímpar?

Uma função f é ímpar se para todo x em seu domínio, f(-x) = -f(x). Graficamente, a função é simétrica em relação à origem.

Qual é o domínio da função f(x) = ln(x + √(x² + 1))?

O domínio é todos os números reais, pois x + √(x² + 1) > 0 para todo x real, garantindo que o logaritmo seja definido.

Como provar que ln(x + √(x² + 1)) é ímpar?

Substitua x por -x: f(-x) = ln(-x + √(x² + 1)) = ln(1/(x + √(x² + 1))) = -ln(x + √(x² + 1)) = -f(x).

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