Ano 2023#matrizes#algebra-linear#matrizes-ortogonais

Sobre o tema

Matrizes ortogonais são fundamentais em álgebra linear, representando transformações que preservam comprimentos e ângulos, como rotações e reflexões. Uma matriz quadrada M é ortogonal se seu produto pela transposta resulta na identidade: M M^T = I. Isso implica que as linhas (e colunas) formam uma base ortonormal. Em problemas de concursos como o IME, é comum determinar parâmetros para que uma matriz seja ortogonal. As condições geram sistemas de equações quadráticas que podem não ter solução real, levando a conjunto solução vazio.

Tópicos relacionados

  • Condição de ortogonalidade M M^T = I
  • Ortonormalidade de linhas e colunas
  • Sistemas de equações quadráticas
  • Matrizes ortogonais e rotações
  • IME 2023 álgebra linear

Enunciado

Uma matriz quadrada M e dita ortogonal se M x M^T = I, onde I e a matriz identidade. O conjunto solucao S contendo os valores de a, b e c para que a dada matriz 4x4 seja ortogonal e:

Alternativas

  • A)

    S = {a = 1/2; b = -sqrt(3); c = 1/2}

  • B)

    S = {a = 1/2; b = sqrt(3); c = 1/2}

  • C)

    S = {a = 1/2; b = sqrt(3); c = -1/2}

  • D)

    S = {a = -1/2; b = sqrt(3); c = -1/2}

  • E)

    S = vazio

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Perguntas frequentes

O que é uma matriz ortogonal?

Uma matriz quadrada M é ortogonal se M M^T = I, ou seja, sua inversa é igual à sua transposta. Isso implica que suas linhas e colunas são vetores ortonormais.

Quais as propriedades de uma matriz ortogonal?

Preserva o produto interno, o comprimento de vetores e ângulos. Seu determinante é ±1. Representa rotações (det=1) ou reflexões (det=-1).

Como verificar se uma matriz com parâmetros é ortogonal?

Imponha que o produto da matriz pela sua transposta seja a identidade. Isso gera equações para os parâmetros. Se o sistema não tiver solução real, o conjunto solução é vazio.

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