Ano 2023#inequacao#exponencial#conjuntos

Sobre o tema

Esta questão do IME aborda uma inequação exponencial com bases decimais e raízes quadradas, exigindo o domínio de propriedades de potências e a capacidade de simplificar expressões para encontrar intervalos de solução. Resolver esse tipo de problema é fundamental para concursos militares, pois testa a manipulação algébrica, a interpretação de desigualdades e a representação de conjuntos na reta real. A expressão envolve termos como 0,09 e √0,3, que podem ser reescritos como potências de 0,3 para facilitar os cálculos. A análise do sinal resultante leva a uma inequação quadrática, cuja solução é um intervalo ou união de intervalos.

Tópicos relacionados

  • Inequação exponencial
  • Propriedades de potências
  • Racionalização de expoentes
  • Inequação quadrática
  • Intervalos reais

Enunciado

O intervalo que contem os valores de x tais que [0,09^(4+x) * (1/sqrt(0,3))^x]^2 < x^2 - (x+1)(x-1) e:

Alternativas

  • A)

    (-inf,4) uniao (8,+inf)

  • B)

    (-2,4)

  • C)

    (4,8)

  • D)

    (-inf,+inf)

  • E)

    (-inf,-2) uniao (4,+inf)

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Perguntas frequentes

Como resolver uma inequação exponencial com bases diferentes?

Procure reescrever todas as potências com a mesma base, aplicando propriedades de potência como a^m * a^n = a^(m+n) e (a^m)^n = a^(mn). Depois, compare os expoentes considerando a base (se maior que 1 ou entre 0 e 1).

Por que é útil transformar 0,09 em potência de 0,3?

Porque 0,09 = (0,3)^2 e 1/√0,3 = (0,3)^(-1/2). Assim, toda a expressão fica na base 0,3, simplificando a soma dos expoentes e permitindo aplicar a monotonicidade da função exponencial.

O que fazer quando a base da exponencial está entre 0 e 1?

A função f(x)=a^x com 0<a<1 é decrescente. Portanto, ao comparar desigualdades entre potências, o sinal da desigualdade entre os expoentes é invertido em relação ao sinal entre as potências.

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