Ano 2023#trigonometria#otimizacao#geometria

Sobre o tema

O problema da maximização do ângulo de visão de um objeto vertical é um clássico da trigonometria e otimização geométrica. Nesta questão do IME 2023, um observador caminha sobre um plano horizontal e busca o maior ângulo sob o qual enxerga uma barra vertical fixada sobre um muro. A solução envolve o conceito de ângulo subtendido por um segmento e o uso de derivadas ou de propriedades de círculos e tangentes. Tópicos como tangente do ângulo, distância crítica e a relação entre alturas são fundamentais. O resultado, 30°, ilustra como a geometria plana e a otimização se combinam para resolver problemas do cotidiano, como o posicionamento ideal para observar um objeto.

Tópicos relacionados

  • Ângulo subtendido por um segmento
  • Otimização geométrica com derivadas
  • Círculo de Apolônio e tangência
  • Relação entre alturas e distâncias
  • Trigonometrica aplicada à visão

Enunciado

Considere uma barra AB de comprimento L fixada na posicao vertical sobre um muro de altura L/2, que esta assentado sobre um plano horizontal. Desprezando a altura do observador O, o angulo maximo AOB enquanto o observador O caminha sobre o plano horizontal e:

Alternativas

  • A)

    30 graus

  • B)

    60 graus

  • C)

    75 graus

  • D)

    15 graus

  • E)

    45 graus

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Perguntas frequentes

Como calcular o ângulo máximo de visão de um objeto vertical?

Utiliza-se a função tangente da diferença dos ângulos formados pelos extremos do objeto em relação ao observador, derivando em relação à distância horizontal para encontrar o máximo.

Qual a importância do círculo de Apolônio nesse contexto?

O ângulo subtendido por um segmento é constante sobre arcos de círculos que passam pelos extremos. O ângulo máximo ocorre quando a reta de observação é tangente a um desses círculos.

Por que a altura do muro influencia no ângulo máximo?

A altura do muro define a posição da base da barra, alterando a relação entre os catetos do triângulo retângulo e, consequentemente, o ponto de distância ótima e o valor do ângulo máximo.

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