Ano 2023#probabilidade#escada#combinatoria

Sobre o tema

Este problema do IME 2023 combina probabilidade com uma dinâmica de escada, onde uma bola lançada do degrau i tem igual probabilidade de parar em qualquer degrau inferior (0 a i-1). A questão exige calcular a probabilidade de que uma bola branca, lançada de um degrau mais alto n, pare em um degrau inferior ao da bola preta, lançada de um degrau m menor. É um exemplo típico de probabilidade geométrica discreta, envolvendo soma de probabilidades condicionais e simetria. Dominar esse tipo de raciocínio é fundamental para problemas de probabilidade em concursos militares e vestibulares como o IME, ITA e ENEM.

Tópicos relacionados

  • Probabilidade condicional em escada
  • Soma de probabilidades discretas
  • Distribuição uniforme discreta
  • Problemas de escada no IME
  • Probabilidade geométrica

Enunciado

Em uma escada, uma bola lancada do i-esimo degrau ira parar em qualquer degrau mais baixo com probabilidade 1/i. Por exemplo, ao lancarmos uma bola do 3o degrau, a bola tem 1/3 de chances de parar no 2o degrau, 1/3 de chances de parar no 1o degrau e 1/3 de chances de parar no degrau 0. Nessa escada lancamos uma bola preta do degrau m, m > 0, e uma bola branca do degrau n, n > m. A probabilidade de a bola branca parar em um degrau mais baixo do que a bola preta e:

Alternativas

  • A)

    (m^2 - 2m + 1)/(2n)

  • B)

    (m^2 - 1)/(2n)

  • C)

    m/(2n)

  • D)

    m^2/(2n)

  • E)

    (m-1)/(2n)

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Perguntas frequentes

O que é uma distribuição uniforme discreta?

É uma distribuição de probabilidade em que todos os resultados possíveis têm a mesma chance de ocorrer. No problema, cada degrau inferior tem probabilidade 1/i.

Como calcular a probabilidade de eventos independentes em problemas de escada?

Considere as posições finais de cada bola como independentes. A probabilidade conjunta é o produto das probabilidades individuais, e a soma sobre as combinações desejadas dá a resposta.

Qual a importância da simetria na resolução deste tipo de problema?

A simetria permite simplificar cálculos. Por exemplo, a probabilidade de a bola branca parar abaixo da preta pode ser relacionada à probabilidade de a preta parar abaixo da branca, facilitando a soma.

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