Ano 2024#matematica#trigonometria#polinomios#discriminante#raizes-reais#fase2#discursiva

Sobre o tema

Para determinar quando as raízes de uma equação quadrática com coeficientes trigonométricos são reais, utiliza-se o discriminante. Nesta questão do IME, o polinômio P(x) = cossec²(α) x² - cotg(α) x + cos(α) tem coeficientes que dependem do ângulo α. A condição para raízes reais é que o discriminante seja não negativo. Aplicando identidades trigonométricas, como cossec² = 1/sen² e cotg = cos/sen, o discriminante se simplifica para (cos²(α) - 4 cos(α))/sen²(α). Como sen²(α) > 0 no intervalo (0, π), o sinal depende apenas do numerador. A análise leva à condição cos(α) ≤ 0, ou seja, α ∈ [π/2, π). Esse tipo de problema combina trigonometria e polinômios, sendo comum em vestibulares militares.

Tópicos relacionados

  • Discriminante de equação quadrática
  • Identidades trigonométricas fundamentais
  • Análise de sinal de expressões trigonométricas
  • Condição para raízes reais em polinômios

Enunciado

Dado P(x) = cossec^2(alpha) x^2 - cotg(alpha) x + cos(alpha). Para que valores de alpha, no intervalo (0, pi), as raizes de P(x) sao reais?

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Perguntas frequentes

O que é o discriminante de uma equação do segundo grau?

O discriminante (Δ = b² - 4ac) determina a natureza das raízes: se Δ > 0, duas raízes reais distintas; se Δ = 0, uma raiz real dupla; se Δ < 0, raízes complexas.

Como simplificar expressões trigonométricas envolvendo cossecante e cotangente?

Utilize as identidades: cossec(α) = 1/sen(α) e cotg(α) = cos(α)/sen(α). Assim, cossec²(α) = 1/sen²(α) e cotg²(α) = cos²(α)/sen²(α).

Em que intervalo do primeiro quadrante o cosseno é negativo?

No intervalo (π/2, π), o cosseno é negativo. Em π/2, o cosseno é zero. No primeiro quadrante (0, π/2), o cosseno é positivo.

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