Ano 2019#matematica#polinomios#progressao-aritmetica#relacoes-de-girard

Sobre o tema

Este problema envolve polinômios com raízes em progressão aritmética, um tópico que combina álgebra e sequências. A questão explora as relações de Girard, que conectam os coeficientes de um polinômio às somas e produtos de suas raízes. Sabendo que uma das raízes é zero (pois não há termo constante) e que as raízes não negativas estão em PA, podemos determinar a soma das raízes a partir da soma dos coeficientes. Essa abordagem é comum em problemas de vestibulares como o ITA, onde o domínio de propriedades algébricas é essencial.

Tópicos relacionados

  • Relações de Girard para polinômios cúbicos
  • Progressão aritmética de raízes
  • Soma dos coeficientes de um polinômio
  • Raízes não negativas e nulas
  • Resolução de equações quadráticas

Enunciado

Seja p(x) = x^3 + ax^2 + bx um polinomio cujas raizes sao nao negativas e estao em progressao aritmetica. Sabendo que a soma de seus coeficientes e igual a 10, podemos afirmar que a soma das raizes de p(x) e igual a

Alternativas

  • A)

    9

  • B)

    8

  • C)

    3

  • D)

    -9/2

  • E)

    10

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Perguntas frequentes

O que são as relações de Girard?

São fórmulas que relacionam os coeficientes de um polinômio com as somas e produtos de suas raízes. Para um polinômio cúbico x³ + ax² + bx + c, a soma das raízes é -a, a soma dos produtos dois a dois é b, e o produto é -c.

Como identificar que uma raiz é zero em um polinômio?

Se o termo constante do polinômio é zero, então zero é uma raiz, pois p(0)=0. Neste caso, o polinômio pode ser fatorado por x.

Qual a condição para raízes estarem em progressão aritmética?

Três números estão em PA se o termo do meio é a média aritmética dos outros dois. Podem ser representados como r-d, r, r+d.

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