Ano 2019#matematica#numeros-complexos#raizes-complexas#geometria

Sobre o tema

Números complexos possuem múltiplas representações, como a forma algébrica e a forma trigonométrica (polar). No plano de Argand-Gauss, as raízes n-ésimas de um número complexo formam os vértices de um polígono regular inscrito em uma circunferência. O estudo das raízes complexas é fundamental em áreas como engenharia elétrica e física, especialmente na análise de circuitos e ondas. Esta questão aborda a relação entre raízes quartas e cúbicas de um número complexo, exigindo o cálculo da área de um triângulo formado pelas raízes cúbicas.

Tópicos relacionados

  • Raízes de números complexos
  • Forma trigonométrica de complexos
  • Polígonos regulares no plano complexo
  • Área de triângulo com vértices complexos

Enunciado

Sabe-se que -2 + 2i e uma das raizes quartas de um numero complexo z. Entao, no plano de Argand-Gauss, a area do triangulo, cujos vertices sao as raizes cubicas de z, e igual a

Alternativas

  • A)

    4(sqrt(3) + 1)

  • B)

    63

  • C)

    8(sqrt(3) - 1)

  • D)

    103

  • E)

    123

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Perguntas frequentes

Como calcular raízes de um número complexo?

Usa-se a fórmula de Moivre: as raízes n-ésimas de z = r(cosθ + i senθ) são dadas por z_k = r^{1/n} [cos((θ+2kπ)/n) + i sen((θ+2kπ)/n)], para k = 0,1,...,n-1.

O que representam as raízes de um número complexo no plano de Argand-Gauss?

Elas são os vértices de um polígono regular de n lados inscrito em uma circunferência de raio r^{1/n} centrada na origem.

Como determinar a área de um triângulo a partir de vértices complexos?

Se os vértices são dados por números complexos, a área pode ser calculada usando o determinante: Área = (1/2) |Im( (z2 - z1) * conjugado(z3 - z1) )|.

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