Ano 2019#matematica#algebra#progressao-aritmetica#desigualdades

Sobre o tema

A progressão aritmética (PA) é uma sequência numérica onde a diferença entre termos consecutivos é constante. Suas propriedades são amplamente exploradas em problemas de álgebra, como a relação entre termos e a possibilidade de transformar sequências. Além disso, desigualdades envolvendo somas de recíprocos e equações polinomiais são tópicos recorrentes em matemática. Esta questão do ITA testa o domínio desses conceitos, exigindo análise cuidadosa de afirmações sobre números naturais, equações cúbicas e progressões aritméticas. Compreender a manipulação algébrica e as condições para validade de propriedades é essencial para resolver problemas desse tipo.

Tópicos relacionados

  • Propriedades da progressão aritmética
  • Desigualdades com somas de recíprocos
  • Equações polinomiais e manipulação algébrica
  • Soma de frações harmônicas

Enunciado

Considere as seguintes afirmacoes:
I. Se n e um numero natural, entao n+1 >= 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/(2n) >= 1/2.
II. Se x e um numero real e x^3 + x + 1 = 0, entao x^2 + 1/x + 1/x^6 = 0.
III. Se a, b e c sao numeros reais positivos que formam, nessa ordem, uma progressao aritmetica, entao 1/(b+c), 1/(c+a), 1/(a+b) formam, nessa ordem, uma progressao aritmetica.
E(sao) VERDADEIRA(S)

Alternativas

  • A)

    apenas I.

  • B)

    apenas I e II.

  • C)

    apenas I e III.

  • D)

    apenas II e III.

  • E)

    todas.

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Perguntas frequentes

O que é uma progressão aritmética?

É uma sequência numérica em que a diferença entre qualquer termo e seu antecessor é constante, chamada razão.

Como verificar se três números formam uma PA?

Verifica-se se o termo do meio é a média aritmética dos extremos: 2b = a + c.

Qual a relação entre as raízes de uma equação cúbica e seus coeficientes?

Para x³ + x + 1 = 0, a soma das raízes é 0, a soma dos produtos dois a dois é 1, e o produto é -1.

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