Ano 2019#matematica#algebra-linear#matrizes#determinante

Sobre o tema

Matrizes inversíveis com entradas inteiras formam um tópico importante em álgebra linear, com aplicações em teoria dos números e criptografia. Quando uma matriz A de ordem n tem todos os elementos inteiros e sua inversa também possui entradas inteiras, dizemos que A é unimodular. Uma propriedade fundamental é que o determinante de uma matriz unimodular é necessariamente ±1, pois tanto det(A) quanto det(A^{-1}) = 1/det(A) são inteiros. Essa condição é necessária, mas não suficiente para que a inversa tenha entradas inteiras. Além disso, propriedades como ortogonalidade (A^T = A^{-1}) ou diagonalidade de A + A^{-1} não são garantidas, como mostram contraexemplos simples.

Tópicos relacionados

  • Matrizes unimodulares e determinante
  • Matriz inversa com entradas inteiras
  • Condição necessária para inversa inteira
  • Exemplos de matrizes unimodulares não ortogonais
  • Propriedade A + A^{-1} diagonal

Enunciado

Considere as seguintes afirmacoes a respeito de matrizes A de ordem n x n inversíveis, tais que os seus elementos e os de sua inversa sejam todos numeros inteiros:
I. |det(A)| = 1.
II. A^T = A^(-1).
III. A + A^(-1) e uma matriz diagonal.
E(sao) sempre VERDADEIRA(S)

Alternativas

  • A)

    apenas I.

  • B)

    apenas III.

  • C)

    apenas I e II.

  • D)

    apenas I e III.

  • E)

    todas.

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Perguntas frequentes

O que é uma matriz unimodular?

Uma matriz unimodular é uma matriz quadrada com entradas inteiras cujo determinante é ±1, o que garante que sua inversa também tenha entradas inteiras.

Por que o determinante de uma matriz com inversa inteira deve ser ±1?

Como tanto det(A) quanto det(A^{-1}) = 1/det(A) são inteiros, o único modo é det(A) = ±1, pois o único inteiro cujo recíproco também é inteiro é ±1.

Toda matriz com determinante ±1 tem inversa com entradas inteiras?

Não, a condição é necessária mas não suficiente. A inversa terá entradas racionais, mas para serem inteiras é preciso que todos os cofatores sejam múltiplos do determinante, o que nem sempre ocorre.

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