Ano 2019#matematica#trigonometria#funcoes-trigonometricas-inversas#somatoria

Sobre o tema

A função arco seno, denotada por arcsen(x) ou sen⁻¹(x), é a inversa da função seno restrita ao intervalo [-π/2, π/2]. Ela retorna o ângulo cujo seno é x. Questões envolvendo somatórias de funções trigonométricas inversas exigem o uso de identidades como cos(arcsen(x)) = √(1 - x²). No ITA, é comum combinar esses conceitos com progressões geométricas, como a soma de potências de 2/3.

Tópicos relacionados

  • Função arco seno e seu domínio
  • Identidade cos(arcsen(x)) = √(1 - x²)
  • Somatória de potências de 2/3
  • Progressão geométrica e soma finita
  • Cálculo de somas com frações

Enunciado

Seja f : [-1, 1] -> [-pi/2, pi/2] a funcao definida por f(x) = arcsen(x). Entao, a soma S = sum_{n=0}^{4} cos^2(f(2/3^n)) e igual a

Alternativas

  • A)

    253/162

  • B)

    245/162

  • C)

    -152/81

  • D)

    -82/81

  • E)

    -79/162

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Perguntas frequentes

Qual é a relação entre cos(arcsen(x)) e x?

Vale que cos(arcsen(x)) = √(1 - x²) para x em [-1,1], pois o ângulo está no intervalo [-π/2, π/2] onde o cosseno é não negativo.

Como calcular a soma de uma progressão geométrica finita?

A soma dos n primeiros termos de uma PG de primeiro termo a e razão q (q≠1) é a(1 - q^n)/(1 - q).

O que é a função arco seno?

É a função inversa do seno, definida para x em [-1,1] com imagem em [-π/2, π/2].

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