Ano 2019#matematica#polinomios#algebra#divisibilidade

Sobre o tema

Polinômios cúbicos, divisibilidade e comparação de números irracionais são tópicos clássicos em álgebra. As relações de Girard (soma e produto das raízes) permitem transformar raízes de um polinômio em novas equações. A aritmética modular mostra que a soma dos cubos de três inteiros consecutivos é sempre múltiplo de 9. Já a comparação direta de expressões com raízes quadradas exige apenas operações elementares. Esta questão do ITA 2019 integra esses conceitos.

Tópicos relacionados

  • Relações de Girard
  • Divisibilidade por 9
  • Soma de cubos consecutivos
  • Polinômios cúbicos
  • Comparação de números irracionais

Enunciado

Considere as seguintes afirmacoes:
I. Se x1, x2 e x3 sao as raizes da equacao x^3 - 2x^2 + x + 2 = 0, entao y1 = x2x3, y2 = x1x3 e y3 = x1*x2 sao as raizes da equacao y^3 - y^2 - 4y - 4 = 0.
II. A soma dos cubos de tres numeros inteiros consecutivos e divisivel por 9.
III. (3 + sqrt(5))/2 >= (1 + sqrt(5))/2.
E(sao) VERDADEIRA(S)

Alternativas

  • A)

    apenas I.

  • B)

    apenas II.

  • C)

    apenas III.

  • D)

    apenas II e III.

  • E)

    todas.

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Perguntas frequentes

O que são as relações de Girard?

São fórmulas que relacionam os coeficientes de um polinômio com a soma e produto de suas raízes. Por exemplo, em x³ - 2x² + x + 2, a soma das raízes é 2, a soma dos produtos dois a dois é 1 e o produto é -2.

Como provar que a soma dos cubos de três inteiros consecutivos é divisível por 9?

Sejam os números (n-1), n, (n+1). A soma dos cubos é 3n(n²+2). Se n é múltiplo de 3, o produto contém fator 9. Se não, n² ≡ 1 mod 3, logo n²+2 ≡ 0 mod 3, e o produto é múltiplo de 9.

Como comparar (3+√5)/2 e (1+√5)/2?

Multiplicando ambos por 2, obtém-se 3+√5 e 1+√5. Como 3 > 1, a primeira expressão é maior. Portanto, a afirmação de que é maior ou igual é verdadeira.

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