Ano 2020#matematica#numeros-complexos#equacao-quadratica#trigonometria#potencias-complexas#fase2#discursiva

Sobre o tema

Esta questão do ITA explora a resolução de equações quadráticas com coeficientes trigonométricos no conjunto dos números complexos. Ao encontrar as raízes de 4z² - 4z sen(α) + 1 = 0, é necessário expressá-las em função de α e, em seguida, calcular potências e expressões envolvendo 2z e seu inverso. O problema exige o uso da fórmula de Bhaskara, a identificação de que as raízes são complexas conjugadas (ou reais, dependendo do valor de sen(α)) e a aplicação da fórmula de De Moivre para potências. É um exercício clássico que integra álgebra, trigonometria e a representação polar dos números complexos.

Tópicos relacionados

Números complexos e forma polar
Equação quadrática com parâmetros trigonométricos
Fórmula de De Moivre e potências complexas
Expressões simétricas: z + 1/z

Enunciado

Seja z ∈ C uma raiz da equação 4z² - 4z sen(α) + 1 = 0, para α ∈ [-π/2, π/2]. Determine, em função de α, todos os possíveis valores para:
a) 2z + 1/(2z)
b) (2z)^15 + 1/(2z)^15

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Perguntas frequentes

Como resolver uma equação quadrática com coeficientes trigonométricos?

Utiliza-se a fórmula de Bhaskara normalmente, tratando sen(α) como um parâmetro real. O discriminante pode ser negativo, levando a raízes complexas, que devem ser expressas na forma algébrica ou polar.

O que é a fórmula de De Moivre e como é aplicada?

A fórmula de De Moivre afirma que (cos θ + i sen θ)^n = cos(nθ) + i sen(nθ) para inteiros n. Ela é útil para calcular potências de números complexos na forma polar.

Como simplificar expressões do tipo z + 1/z para números complexos?

Se z está no círculo unitário (|z| = 1), então 1/z = conjugado de z, e z + 1/z = 2 Re(z). Caso contrário, pode-se usar a forma algébrica ou polar para simplificar.