A soma infinita de uma progressão geométrica é um conceito fundamental em matemática, frequentemente aplicado em séries de números reais ou complexos. Quando os termos são complexos, como na forma $a_n = \frac{\cos n + i \sin n}{2^n}$, podemos usar a identidade de Euler $e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta$ para reescrever o termo geral como $\left(\frac{e^i}{2}\right)^n$. Isso transforma o problema no cálculo da soma de uma série geométrica com razão $\frac{e^i}{2}$, cujo módulo é $\frac12$, garantindo convergência. A parte real resultante é uma expressão trigonométrica que aparece frequentemente em problemas de análise complexa e séries.