Ano 2020#fase-1#ita#ita-2020#matematica#multipla-escolha

Sobre o tema

A interseção de curvas cônicas com os eixos coordenados é um tema recorrente em geometria analítica, frequentemente abordado em vestibulares como o ITA. Nesta questão, duas curvas são dadas: uma elipse (c1) e uma circunferência (c2). Para resolver, é necessário completar quadrados para identificar as formas canônicas e, em seguida, calcular os pontos de interseção com os eixos x (para a elipse) e y (para a circunferência). O quadrilátero formado por esses quatro pontos tem sua área calculada pelo método do determinante (shoelace), resultando em uma expressão envolvendo radicais. O domínio desse procedimento é essencial para problemas que combinam cônicas e cálculo de áreas.

Tópicos relacionados

Complete squares em equações de cônicas
Interseção de curva com eixos coordenados
Cálculo de área por determinante (shoelace)
Forma canônica da elipse e circunferência
Geometria analítica no ITA

Enunciado

Duas curvas planas c1 e c2 são definidas pelas equações

c1 : 16x2 + 9y2 - 224x - 72y + 640 = 0,
c2 : x2 + y2 + 4x - 10y + 13 = 0.

Sejam P e Q os pontos de interseção de c1 com o eixo x e R e S os pontos de interseção de c2 com o eixo y.
A área do quadrilátero convexo de vértices P, Q, R e S é igual a

Alternativas

A)
15 + 7 3.
B)
15 - 7 3.
C)
15 + 14 3.
D)
15 - 14 3.
E)
25 + 10 3.

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Perguntas frequentes

Como completar quadrados em uma equação de elipse?

Agrupa-se os termos em x e y, coloca-se em evidência os coeficientes quadráticos, e adiciona-se e subtrai-se os termos necessários para formar quadrados perfeitos. Por exemplo, para 16x² - 224x, escreve-se 16(x² - 14x) = 16[(x-7)² - 49].

Qual a fórmula da área de um quadrilátero convexo com vértices conhecidos?

Use o método do determinante (shoelace): liste as coordenadas em ordem, calcule a soma dos produtos cruzados e divida por 2. A área é ½|Σ(xᵢ yᵢ₊₁ - yᵢ xᵢ₊₁)|.

O que é uma cônica e quais são seus tipos principais?

Cônicas são curvas obtidas pela interseção de um cone com um plano. Os tipos principais são: circunferência, elipse, parábola e hipérbole. Cada uma tem uma equação geral de segundo grau em x e y.