Ano 2020#fase-1#ita#ita-2020#matematica#multipla-escolha

Sobre o tema

O estudo dos números racionais e irracionais é fundamental na matemática, especialmente para compreender as propriedades dos números reais. A questão aborda a relação entre a irracionalidade de um número real a e a racionalidade de expressões envolvendo suas potências. Entender que a soma de um número racional com um irracional é irracional, e que operações algébricas podem preservar ou alterar a racionalidade, é crucial para resolver problemas de análise real. Este tipo de raciocínio aparece frequentemente em problemas de vestibulares como o ITA, exigindo domínio de conceitos básicos e capacidade de argumentação lógica.

Tópicos relacionados

  • Números racionais e irracionais
  • Propriedades de fechamento das operações
  • Demonstração por contrapositiva
  • Equações polinomiais e racionalidade
  • Análise de expressões algébricas

Enunciado

Dado a R, defina p = a + a2 e q = a + a3 e considere as seguintes afirmações:
I. se p ou q é irracional, então a é irracional.
II. se p e q são racionais, então a é racional.

III. se q é irracional, então p é irracional.
É(são) VERDADEIRA(S)

Alternativas

  • A)

    apenas I.

  • B)

    apenas II.

  • C)

    apenas I e II.

  • D)

    apenas I e III.

  • E)

    todas.

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Perguntas frequentes

A soma de dois números irracionais é sempre irracional?

Não. Por exemplo, √2 e (2 - √2) são ambos irracionais, mas sua soma é 2, que é racional.

O produto de um número racional não nulo por um irracional é irracional?

Sim. Se r é racional não nulo e i é irracional, então ri é irracional, pois caso contrário, i seria (ri)/r, uma contradição.

O que significa uma prova por contrapositiva?

É uma técnica de demonstração que prova a implicação 'se P então Q' mostrando que 'se não Q então não P' é verdadeira.

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