Ano 2020#fase-1#geometria-espacial#ita#ita-2020#matematica#multipla-escolha

Sobre o tema

Poliedros são sólidos geométricos formados por faces poligonais. A relação de Euler (V - A + F = 2) é fundamental para poliedros convexos. A soma dos ângulos de todas as faces de um poliedro convexo é dada por S = (V - 2) 360°, ou equivalentemente S = (A - F) 360°. Essas relações permitem verificar propriedades e consistências. Em problemas de vestibulares como o ITA, é comum testar a validade de afirmações sobre número de vértices, arestas e faces, além da soma dos ângulos. Compreender esses conceitos é essencial para resolver questões de geometria espacial.

Tópicos relacionados

Relação de Euler para poliedros convexos
Soma dos ângulos das faces de um poliedro
Poliedros convexos e suas propriedades
Classificação de poliedros por faces

Enunciado

Q: Como calcular a soma dos ângulos de todas as faces de um poliedro convexo?

A soma dos ângulos das faces é igual a (V - 2) * 360°, ou também (A - F) * 360°, considerando que cada face é um polígono e a soma de seus ângulos internos depende do número de lados.

Considere as seguintes afirmações:
I. Todo poliedro formado por 16 faces quadrangulares possui exatamente 18 vértices e 32 arestas.
II. Em todo poliedro convexo que possui 10 faces e 16 arestas, a soma dos ângulos de todas as faces é
igual a 2160.

III. Existe um poliedro com 15 faces, 22 arestas e 9 vértices.
É(são) VERDADEIRA(S)

Alternativas

A)
apenas I.
B)
apenas II.
C)
apenas III.
D)
apenas I e II.
E)
apenas II e III.

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Perguntas frequentes

O que diz a relação de Euler para poliedros convexos?

A relação de Euler afirma que para todo poliedro convexo, V - A + F = 2, onde V é o número de vértices, A o de arestas e F o de faces.

Como calcular a soma dos ângulos de todas as faces de um poliedro convexo?

A soma dos ângulos das faces é igual a (V - 2) 360°, ou também (A - F) 360°, considerando que cada face é um polígono e a soma de seus ângulos internos depende do número de lados.

É possível existir um poliedro com 15 faces, 22 arestas e 9 vértices?

Não, pois pela relação de Euler, 9 - 22 + 15 = 2, o que é verdade, mas a soma dos ângulos das faces seria (9-2)360° = 2520°, e como cada face tem pelo menos 3 arestas, o número de arestas deveria ser no mínimo (315)/2 = 22,5, o que é impossível, mostrando inconsistência.