Ano 2021#algebra linear#matrizes#simetria

Sobre o tema

Matrizes simétricas e antissimétricas são classes importantes na álgebra linear. Uma matriz quadrada A é simétrica se A^T = A, e antissimétrica se B^T = -B. Propriedades como transposição, comutatividade e determinante são frequentemente exploradas em problemas. Destaca-se que matrizes antissimétricas de ordem ímpar possuem determinante nulo, pois det(B) = det(-B) = (-1)^n det(B) resulta em det(B) = 0. Essa propriedade influencia o determinante do produto com outras matrizes. O estudo dessas matrizes é fundamental em áreas como geometria, física e engenharia.

Tópicos relacionados

Matriz simétrica
Matriz antissimétrica
Determinante de matriz antissimétrica de ordem ímpar
Comutatividade entre matrizes
Propriedades da transposição

Enunciado

Questao 41. Sejam A e B matrizes quadradas de ordem impar. Suponha que A e simetrica e que B e antissimetrica. Considere as seguintes afirmacoes: I. (A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2. II. A comuta com qualquer matriz simetrica. III. B comuta com qualquer matriz antissimetrica. IV. det(AB) = 0. Sao VERDADEIRAS:

Alternativas

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Perguntas frequentes

O que é uma matriz simétrica?

Uma matriz quadrada A é simétrica se sua transposta é igual a ela mesma, ou seja, A^T = A.

O que é uma matriz antissimétrica?

Uma matriz quadrada B é antissimétrica se sua transposta é igual ao seu oposto, ou seja, B^T = -B.

Por que o determinante de uma matriz antissimétrica de ordem ímpar é zero?

Como det(B^T) = det(B) e det(-B) = (-1)^n det(B), para n ímpar temos det(B) = -det(B), logo det(B)=0.