Ano 2021#funcoes#exponencial#logaritmo

Sobre o tema

O estudo de funções exponenciais e logarítmicas é fundamental no cálculo e na análise de crescimento e decaimento. A função exponencial f(x)=2^x cresce rapidamente, enquanto g(x)=2^{-x} decai. Já a função logarítmica h(x)=log_2(x) é a inversa da exponencial. A união de seus gráficos forma um conjunto S no plano cartesiano. A reta y=kx, com k>0, intercepta S em um número n de pontos que depende de k. Esse tipo de problema explora a interseção de retas com curvas, exigindo compreensão de assíntotas, monotonicidade e concavidade. A análise das soluções das equações envolvidas revela que, para certos valores de k, a reta tangencia ou cruza os gráficos, determinando n.

Tópicos relacionados

Função exponencial e suas propriedades
Função logarítmica e sua inversa
Interseção de reta com curvas
Assíntotas horizontais e verticais
Análise de soluções de equações

Enunciado

Questao 46. Seja S o subconjunto do plano cartesiano constituido pela uniao dos graficos das funcoes f(x) = 2^x, g(x) = 2^(-x) e h(x) = log_2(x), com x > 0. Para cada k > 0 seja n o numero de intersecoes da reta y = kx com S. Podemos afirmar que:

Alternativas

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Perguntas frequentes

Qual é a relação entre as funções f(x)=2^x e h(x)=log_2(x)?

Elas são funções inversas: se y=2^x, então x=log_2(y). Uma é o espelho da outra em relação à reta y=x.

O que significa a assíntota de uma função exponencial?

Para f(x)=2^x, o eixo x (y=0) é assíntota horizontal quando x tende a -∞. Para g(x)=2^{-x}, quando x tende a +∞, a função tende a 0.

Como determinar o número de interseções de uma reta com o gráfico de uma função?

Resolve-se a equação f(x)=kx. O número de soluções reais depende do comportamento da função e do valor de k, podendo ser zero, um ou dois pontos de interseção.