Ano 2021#combinatoria#progressao aritmetica#triangulo

Sobre o tema

Triângulos com lados em progressão aritmética são um tema clássico em combinatória geométrica, frequentemente explorados em problemas de perímetro fixo. A condição de que os lados são inteiros e ordenados impõe restrições adicionais, exigindo o uso de desigualdades triangulares e propriedades de sequências aritméticas. Este tipo de questão testa a capacidade de modelar situações geométricas com ferramentas algébricas e de contagem, sendo comum em vestibulares como o ITA.

Tópicos relacionados

Progressão aritmética em geometria
Desigualdade triangular
Contagem de triângulos inteiros
Perímetro fixo e lados ordenados
Condição de existência de triângulo

Enunciado

Questao 49. O numero de triangulos, dois a dois nao congruentes, de perimetro 87, cujos lados, dispostos em ordem crescente de comprimento, sao numeros inteiros em progressao aritmetica de razao nao nula, e igual a:

Alternativas

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Perguntas frequentes

Como encontrar triângulos com lados em progressão aritmética?

Represente os lados como (x-r, x, x+r) e aplique a desigualdade triangular, além da condição de que todos os lados sejam positivos.

Qual é a condição para que três números formem um triângulo?

A soma de quaisquer dois lados deve ser maior que o terceiro lado. Para lados ordenados a≤b≤c, basta que a+b>c.

Por que o perímetro fixo simplifica a contagem?

Com perímetro P e lados em PA, o termo médio é fixo em P/3, reduzindo o problema a encontrar a razão que satisfaz as condições.