Ano 2022#matematica#geometria-analitica#circunferencias#tangencia#intersecao#reta-horizontal#fase2#discursiva

Sobre o tema

Este problema de geometria analítica aborda a intersecção de três círculos, cada um com centro em pontos dados, que compartilham uma reta horizontal tangente. A situação ilustra como condições geométricas, como a existência de uma tangente comum, impõem restrições aos raios. A resolução utiliza álgebra para determinar o ponto de intersecção, aplicando propriedades de distâncias e simetria. Tais problemas são comuns em vestibulares como o ITA, testando habilidades de manipulação de equações e interpretação geométrica.

Tópicos relacionados

Equação da circunferência
Condição de tangência
Intersecção de círculos
Geometria analítica básica
Sistemas de equações

Enunciado

Sejam $P_1 = (0, 6)$, $P_2 = (1, 5)$ e $P_3 = (2, 6)$ e sejam $C_1$, $C_2$ e $C_3$ circunferências centradas em $P_1$, $P_2$ e $P_3$, respectivamente. Sabendo que existe uma reta horizontal que é tangente a $C_1$, $C_2$ e $C_3$, determine $C_1 \cap C_2 \cap C_3$ quando este não for vazio.

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Perguntas frequentes

Como determinar se três círculos têm uma reta tangente comum?

Para que uma reta seja tangente a três círculos, a distância de cada centro à reta deve ser igual ao respectivo raio. Isso gera um sistema que relaciona os raios e a posição da reta.

Qual a importância da simetria na intersecção de círculos?

A simetria pode simplificar problemas, como neste caso, onde os centros de C1 e C3 são simétricos em relação à reta x=1, levando à conclusão de que qualquer ponto comum deve ter x=1.

Como resolver a intersecção de três círculos?

Subtraia equações para obter retas (eixos radicais). A intersecção de duas dessas retas dá um candidato a ponto comum, que deve ser verificado nas equações originais.