Ano 2022#numeros-complexos#polinomios

Sobre o tema

O problema envolve um polinômio de quarto grau com coeficientes reais, do qual se conhece uma raiz imaginária pura (i). Por serem reais os coeficientes, as raízes complexas ocorrem em pares conjugados, de modo que -i também é raiz. Fatorando o polinômio por (z²+1), obtém-se um polinômio quadrático cujas raízes são 3±2i. As quatro raízes (i, -i, 3+2i, 3-2i) são vértices de um quadrilátero no plano complexo. Para calcular sua área, basta aplicar o método do cadarço (shoelace formula), ordenando os pontos em sentido anti-horário. O cálculo resulta em área igual a 9.

Tópicos relacionados

Raízes complexas conjugadas
Fatoração de polinômios complexos
Área de polígonos no plano complexo
Método do cadarço (shoelace formula)
Polinômios com coeficientes reais

Enunciado

Considere o polinomio p(z) = z^4 - 6z^3 + 14z^2 - 6z + 13 e note que p(i) = 0. Considere no plano complexo o quadrilatero cujos vertices sao as raizes de p(z). Podemos afirmar que a area desse quadrilatero e

Alternativas

A)
4.
B)
6.
C)
8.
D)
9.
E)
10.

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Perguntas frequentes

Por que as raízes complexas de um polinômio real aparecem em pares conjugados?

Se um polinômio tem coeficientes reais e uma raiz complexa a+bi, seu conjugado a-bi também é raiz, pois a equação polinomial permanece inalterada ao conjugar todos os termos.

Como calcular a área de um quadrilátero no plano complexo?

Representam-se os vértices como pares ordenados (x,y) e aplica-se a fórmula do cadarço: área = ½|∑(xi yi+1 - xi+1 yi)|, com os pontos em ordem cíclica.

Qual é a relação entre fatoração e raízes de um polinômio?

Se α é raiz, então (z-α) divide o polinômio. Para raízes complexas conjugadas, o produto (z-α)(z-ᾱ) resulta em um fator quadrático com coeficientes reais.