Ano 2022#geometria-analitica#conicas

Sobre o tema

Esta questão do ITA aborda cônicas, especificamente a hipérbole, e exige a determinação do centro a partir de uma equação geral do segundo grau. O centro de uma cônica é obtido completando quadrados na equação, transformando-a na forma padrão. No caso da hipérbole, a equação reduzida é do tipo (x-h)^2/a^2 - (y-k)^2/b^2 = 1 ou similar, e o centro é (h,k). A partir do centro (que depende de um parâmetro b), a questão testa qual região do plano contém esse centro para todos os valores de b que tornam a cônica uma hipérbole. Esse tipo de problema exige domínio de álgebra para completamento de quadrados e entendimento das condições para que a equação represente uma hipérbole (coeficientes de x^2 e y^2 com sinais opostos).

Tópicos relacionados

  • Identificação de cônicas por equação geral
  • Completamento de quadrados na equação de cônicas
  • Centro da hipérbole e parâmetros
  • Regiões definidas por inequações quadráticas

Enunciado

Seja b em R tal que a equacao x^2 - 6bx - (1 - b^2)(y^2 - 2by) + b^4 + 8b^2 - 1 = 0 determina uma hiperbole. Com respeito ao centro C desta hiperbole podemos afirmar:

Alternativas

  • A)

    C pertence a {(x,y): x^2/9 + y^2/12 < 1}.

  • B)

    C pertence a {(x,y): x^2/4 + y^2/2 > 1}.

  • C)

    C pertence a {(x,y): x^2/9 - y^2/2 < 1}.

  • D)

    C pertence a {(x,y): 3x^2 - 2y^2 > 1}.

  • E)

    Nenhuma das alternativas anteriores.

0.0 (0 avaliacoes)

Avaliar: +1 XP. Favoritar: salva pra revisar. Comentar: +5 XP + 1 credito IA.

Comentarios (0)

Login obrigatorio

Carregando comentarios...

Perguntar pra IA

Perguntas frequentes

Como encontrar o centro de uma cônica a partir de sua equação geral?

O centro é encontrado completando quadrados para as variáveis x e y, transformando a equação na forma padrão da cônica. Para uma hipérbole, a forma é (x-h)^2/a^2 - (y-k)^2/b^2 = 1, e o centro é (h,k).

Quais condições garantem que uma equação do segundo grau representa uma hipérbole?

A equação geral Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0 representa uma hipérbole se o discriminante B^2 - 4AC > 0 (elipse se <0, parábola se =0) e os coeficientes de x^2 e y^2 têm sinais opostos (A e C com sinais contrários) quando não há termo misto.

Como determinar se um ponto pertence a uma região definida por uma inequação quadrática?

Substitua as coordenadas do ponto na inequação e verifique se a desigualdade é satisfeita. Por exemplo, para a região x^2/9 - y^2/2 < 1, o centro (3b,b) resulta em b^2/2 < 1, que é sempre verdadeiro para b^2 < 2.

Questões relacionadas