Ano 2022#geometria-espacial#planos

Sobre o tema

A geometria espacial analisa posições relativas entre pontos, retas e planos no espaço tridimensional. Neste contexto, proposições sobre paralelismo, equidistância e pontos notáveis exigem rigor lógico e conhecimento de definições básicas. A questão do ITA 2022 testa a capacidade de identificar afirmações verdadeiras ou falsas sobre essas relações, sendo um bom exercício para revisar conceitos como interseção de reta com plano, planos equidistantes de dois pontos e unicidade do ponto equidistante a quatro pontos. Dominar tais tópicos é essencial para resolver problemas de geometria em concursos militares e vestibulares de alto nível.

Tópicos relacionados

  • Posições relativas entre reta e plano
  • Paralelismo entre planos
  • Planos equidistantes de dois pontos
  • Ponto equidistante a quatro pontos
  • Geometria espacial para ITA

Enunciado

Considere as seguintes afirmacoes:
I. Se alpha e beta sao planos paralelos distintos e r e uma reta tal que r intersecta alpha = vazio, entao r intersecta beta = vazio.
II. Se r e uma reta e P e Q sao pontos distintos, entao existem infinitos planos equidistantes de P e Q que contem r.
III. Dado quatro pontos no espaco, existe um unico ponto equidistante a eles.
E (sao) verdadeira(s):

Alternativas

  • A)

    Nenhuma das afirmacoes.

  • B)

    apenas I.

  • C)

    apenas II.

  • D)

    apenas III.

  • E)

    I, II e III.

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Perguntas frequentes

O que significa uma reta ser paralela a um plano?

Uma reta é paralela a um plano se não possui nenhum ponto em comum com o plano (interseção vazia).

Quantos planos equidistantes de dois pontos distintos existem?

Infinitos: todos os planos que contêm o ponto médio e são perpendiculares à reta que liga os pontos, além de planos que passam pelo ponto médio com qualquer orientação? Na verdade, há um plano perpendicular à reta passando pelo ponto médio, mas também planos inclinados que equidistam? A afirmação II é falsa porque nem todo plano que contém r será equidistante; apenas aqueles que são perpendiculares ao segmento PQ e passam pelo ponto médio. Como r pode não ser perpendicular a PQ, não existem infinitos planos contendo r que sejam equidistantes.

É sempre possível encontrar um ponto equidistante a quatro pontos no espaço?

Apenas se os quatro pontos forem coplanares e formarem um quadrilátero inscritível (ou seja, existir um círculo passando por todos), ou se forem vértices de um tetraedro regular? Na verdade, quatro pontos no espaço determinam uma esfera única se, e somente se, eles não forem coplanares. Se forem coplanares, existem infinitos pontos equidistantes (todos no eixo perpendicular ao plano passando pelo circuncentro) ou nenhum, caso não haja circuncentro. A afirmação III é falsa porque pode haver infinitos ou nenhum.

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