Ano 2023#matematica#algebra-linear#determinante#matrizes#equacao-algebrica

Sobre o tema

O determinante é uma função multilinear e alternada que associa a cada matriz quadrada um número real, com propriedades fundamentais para a álgebra linear. Entre elas, destaca-se o comportamento frente à multiplicação por escalar: para uma matriz A de ordem n, det(kA) = k^n det(A). Essa propriedade é essencial para resolver equações envolvendo determinantes de potências e múltiplos de matrizes. A questão explora justamente essa relação, combinando potências de matrizes e escalares em uma equação que determina um valor único de x. Compreender como o determinante se comporta com a multiplicação por escalar e com potências de matrizes é crucial para resolver problemas como este, que aparecem frequentemente em concursos militares e vestibulares de alto nível.

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Determinante de matriz multiplicada por escalar
Propriedades do determinante
Determinante de potência de matriz
Equações com determinantes
Matrizes de ordem 3

Enunciado

Considere $A \in M_3(\mathbb{R})$ tal que existe um unico numero real $x$ que satisfaz a equacao $\det(3^2 x^2 A) + \det(xA^3) = \det A^2$. Entao, $x + \det A$ e

Alternativas

A)
$-5$.
B)
$-4$.
C)
$-3$.
D)
$-2$.
E)
$-1$.

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Perguntas frequentes

Como calcular o determinante de kA para uma matriz A de ordem n?

det(kA) = k^n det(A). Isso decorre da multilinearidade do determinante em relação às linhas.

Qual a relação entre det(A^p) e det(A)?

det(A^p) = (det A)^p, pois det(AB) = det A * det B, e por indução det(A^p) = (det A)^p.

O que significa uma equação ter solução única para x?

Significa que a equação, após simplificações, resulta em uma condição que determina x de forma única, geralmente uma equação linear ou quadrática com discriminante zero.