Ano 2023#matematica#media-harmonica#polinomios#relacoes-de-vieta

Sobre o tema

A média harmônica é uma medida de tendência central útil para conjuntos de dados inversamente proporcionais, como velocidades ou taxas. No contexto de polinômios, a média harmônica das raízes pode ser calculada diretamente a partir dos coeficientes usando as relações de Viète, sem precisar encontrar as raízes individualmente. Essa abordagem é especialmente elegante para polinômios cúbicos com raízes reais positivas, como no caso do polinômio 30x³ - 113x² + 108x - 30. O conceito de média harmônica é frequentemente cobrado em vestibulares como o ITA, exigindo do aluno a habilidade de conectar álgebra e estatística.

Tópicos relacionados

  • Média harmônica: definição e aplicações
  • Relações de Viète para polinômios cúbicos
  • Cálculo de soma de inversos das raízes
  • Polinômios com raízes reais positivas
  • ITA: questões de matemática com polinômios

Enunciado

A media harmonica de $n$ numeros reais positivos $a_1, a_2, \ldots, a_n$ e
$$H = \frac{n}{\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \cdots + \frac{1}{a_n}}$$
Sabendo que o polinomio $p(x) = 30x^3 - 113x^2 + 108x - 30$ possui tres raizes reais positivas, a media harmonica das raizes de $p(x)$ e

Alternativas

  • A)

    $\frac{2}{3}$.

  • B)

    $\frac{5}{18}$.

  • C)

    $\frac{5}{6}$.

  • D)

    $1$.

  • E)

    $3$.

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Perguntas frequentes

O que é a média harmônica e quando é usada?

A média harmônica é definida como o inverso da média aritmética dos inversos dos valores. É usada para calcular médias de taxas, como velocidade média em percursos com trechos a velocidades diferentes.

Como calcular a soma dos inversos das raízes de um polinômio usando Viète?

Para um polinômio cúbico ax³+bx²+cx+d, a soma dos inversos das raízes é igual a -c/d (se d≠0), pois 1/r1+1/r2+1/r3 = (r2r3+r1r3+r1r2)/(r1r2r3) = (c/a)/(d/a) = c/d.

Qual a relação entre média harmônica e as raízes de um polinômio?

A média harmônica de n raízes é n dividido pela soma dos inversos das raízes. Usando Viète, podemos obter essa soma diretamente dos coeficientes, facilitando o cálculo.

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